L'objectif

Écrire $\mathcal{C}$ sous forme affine $x^* + H$ pour exploiter la structure vectorielle de $H$ dans la suite du problème.

Le principe

Si $x^*$ est une solution particulière du système $g_i(x) = b_i$ , alors $x \in \mathcal{C}$ équivaut à $x - x^* \in H$ où $H = \{h \in \mathbb{R}^n : g_1(h) = \dots = g_p(h) = 0\}$ , d'où $\mathcal{C} = x^* + H$ .

La méthode

1
Je cherche une solution particulière $x^* \in \mathbb{R}^n$ du système $g_i(x) = b_i$ , typiquement en annulant certaines coordonnées.
2
Je définis l'espace homogène $H = \bigcap_{i=1}^p \ker(g_i) = \{h \in \mathbb{R}^n : g_i(h) = 0 \text{ pour tout } i\}$ .
3
Je vérifie que pour tout $h \in H$ , $x^* + h$ est solution puisque $g_i(x^* + h) = g_i(x^*) + g_i(h) = b_i + 0 = b_i$ par linéarité.
4
Je conclus $\mathcal{C} = x^* + H$ , ensemble affine de direction $H$ .

Comment écrire l'ensemble des contraintes $\mathcal{C}$ défini par un système d'égalités linéaires ?

En remarquant que $\mathcal{C} = x^* + H$ avec $x^*$ solution particulière et $H$ espace des solutions homogènes

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment écrire l'ensemble des contraintes C\mathcal{C}C défini par un système d'égalités linéaires ?

En remarquant que C=x∗+H\mathcal{C} = x^* + HC=x∗+H avec x∗x^*x∗ solution particulière et HHH espace des solutions homogènes

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment écrire l'ensemble des contraintes $\mathcal{C}$ défini par un système d'égalités linéaires ?

En remarquant que $\mathcal{C} = x^* + H$ avec $x^*$ solution particulière et $H$ espace des solutions homogènes