Comment étudier le signe d'une… : En diagonalisant A et en lisant le… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment étudier le signe d'une fonction quadratique à l'aide du spectre de sa matrice symétrique ?

En diagonalisant $A$ et en lisant le signe des valeurs propres

Conclure sur le signe de $q(h) = {}^t H A H$ (strictement positive, strictement négative, ou indéfinie) à partir du seul spectre de $A$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ . Étudier le signe de $q(h) = {}^t H A H$ .

L'objectif

Conclure sur le signe de $q(h) = {}^t H A H$ (strictement positive, strictement négative, ou indéfinie) à partir du seul spectre de $A$ .

Le principe

Pour $A\in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ , on diagonalise orthogonalement $A = P D\,{}^t P$ et on obtient $q(h) = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2$ : $q > 0$ sur $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ ssi $\mathrm{Sp}(A)\subset \mathbb{R}_+^*$ ; $q < 0$ sur $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ ssi $\mathrm{Sp}(A)\subset \mathbb{R}_-^*$ ; $q$ change de signe ssi $\mathrm{Sp}(A)$ contient deux valeurs propres non nulles de signes opposés.

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est symétrique réelle, puis je calcule son spectre $\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ (trace, déterminant, polynôme annulateur).
2
Je diagonalise orthogonalement $A = P D\,{}^t P$ et j'écris, via $H' = {}^t P H$ , $q(h) = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2$ .
3
Je conclus sur le signe : $\forall i,\ \lambda_i>0 \Rightarrow q>0$ sur $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ ; $\forall i,\ \lambda_i<0 \Rightarrow q<0$ ; présence de deux valeurs propres non nulles de signes opposés $\Rightarrow q$ change de signe.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ . Étudier le signe de $q(h) = {}^t H A H$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

A

est symétrique réelle, puis je calcule son spectre

\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}

(trace, déterminant, polynôme annulateur).

$A$ est symétrique. $\mathrm{Tr}(A) = 7$ , $\det(A) = 6$ donc les valeurs propres sont racines de $X^2 - 7X + 6 = (X-1)(X-6)$ : $\mathrm{Sp}(A) = \{1,6\}$ .

Étape 2 —

Je diagonalise orthogonalement

A = P D\,{}^t P

et j'écris, via

H' = {}^t P H

q(h) = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2

Dans une base orthonormée de vecteurs propres, $q(h) = 6 (h'_1)^2 + 1\cdot (h'_2)^2$ .

Étape 3 —

Je conclus sur le signe :

\forall i,\ \lambda_i>0 \Rightarrow q>0

sur

\mathbb{R}^n\setminus\{0\}

;

\forall i,\ \lambda_i<0 \Rightarrow q<0

; présence de deux valeurs propres non nulles de signes opposés

\Rightarrow q

change de signe.

Les deux valeurs propres sont strictement positives, donc $q(h) > 0$ pour tout $h \neq 0$ : $q$ est strictement positive.

$q$ est strictement positive sur $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ .

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Comment étudier le signe d'une fonction quadratique à l'aide du spectre de sa matrice symétrique ?

En diagonalisant AAA et en lisant le signe des valeurs propres

Pour comprendre, fais des exercices !

En diagonalisant $A$ et en lisant le signe des valeurs propres