Comment tracer ou interpréter… : En traçant les courbes de niveau L_c =… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment tracer ou interpréter le graphe et les lignes de niveau d'une fonction de deux variables ?

En traçant les courbes de niveau $L_c = \{f = c\}$ pour plusieurs $c$

Interpréter une fonction de deux variables via ses courbes de niveau dans le plan.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Tracer les courbes de niveau de $f(x,y) = x^2 + y^2$ .

L'objectif

Interpréter une fonction de deux variables via ses courbes de niveau dans le plan.

Le principe

La courbe de niveau $c$ de $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ est $L_c = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid f(x,y) = c\}$ ; elle correspond à la projection sur le plan $(Oxy)$ de l'intersection de la surface $z = f(x,y)$ avec le plan $z = c$ .

La méthode

1
Je choisis plusieurs valeurs de $c$ représentatives (par exemple $c = 0, 1, 2, \dots$ ) et je forme l'équation $f(x,y) = c$ .
2
Pour chaque $c$ , je simplifie l'équation pour reconnaître une courbe classique (droite, cercle, parabole, hyperbole...).
3
Je trace les différentes courbes $L_c$ sur un même graphique et j'interprète leur disposition pour décrire la forme globale de $f$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Tracer les courbes de niveau de $f(x,y) = x^2 + y^2$ .

Étape 1 —

Je choisis plusieurs valeurs de

c

représentatives (par exemple

c = 0, 1, 2, \dots

) et je forme l'équation

f(x,y) = c

Pour $c \in \{0, 1, 4, 9\}$ , l'équation est $x^2 + y^2 = c$ .

Étape 2 —

Pour chaque

c

, je simplifie l'équation pour reconnaître une courbe classique (droite, cercle, parabole, hyperbole...).

Pour $c > 0$ , c'est un cercle centré à l'origine de rayon $\sqrt{c}$ ; pour $c = 0$ , c'est le point $\{(0,0)\}$ ; pour $c < 0$ , $L_c = \emptyset$ .

Étape 3 —

Je trace les différentes courbes

L_c

sur un même graphique et j'interprète leur disposition pour décrire la forme globale de

f

Les lignes de niveau sont des cercles concentriques de plus en plus espacés vers l'extérieur, typique d'un paraboloïde.

Les lignes de niveau de $f(x,y) = x^2+y^2$ sont des cercles concentriques $x^2 + y^2 = c$ pour $c > 0$ .

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Comment tracer ou interpréter le graphe et les lignes de niveau d'une fonction de deux variables ?

En traçant les courbes de niveau Lc={f=c}L_c = \{f = c\}Lc​={f=c} pour plusieurs ccc

Pour comprendre, fais des exercices !

En traçant les courbes de niveau $L_c = \{f = c\}$ pour plusieurs $c$