Comment tracer ou interpréter… : En représentant la surface z = f(x,y)… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment tracer ou interpréter le graphe et les lignes de niveau d'une fonction de deux variables ?

En représentant la surface $z = f(x,y)$ et ses coupes à $x$ ou $y$ fixés

Décrire la surface représentative d'une fonction de deux variables en l'étudiant par tranches.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Décrire la surface $z = x^2 + y^2$ en étudiant ses coupes à $y$ fixé.

L'objectif

Décrire la surface représentative d'une fonction de deux variables en l'étudiant par tranches.

Le principe

Le graphe d'une fonction $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ est l'ensemble $\mathcal{G}_f = \{(x,y,f(x,y)) \mid (x,y) \in \mathbb{R}^2\} \subset \mathbb{R}^3$ d'équation $z = f(x,y)$ ; fixer $x$ ou $y$ donne une courbe plane obtenue comme graphe d'une fonction d'une variable.

La méthode

1
Je pose l'équation de la surface $z = f(x,y)$ et j'identifie le domaine de $f$ .
2
Je fixe $x = a$ et j'étudie la courbe plane $y \mapsto f(a,y)$ , puis je fais de même avec $y = b$ et la courbe $x \mapsto f(x,b)$ .
3
Je recolle mentalement ces tranches pour décrire l'allure de la surface dans $\mathbb{R}^3$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Décrire la surface $z = x^2 + y^2$ en étudiant ses coupes à $y$ fixé.

Étape 1 —

Je pose l'équation de la surface

z = f(x,y)

et j'identifie le domaine de

f

L'équation de la surface est $z = x^2 + y^2$ avec $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie sur $\mathbb{R}^2$ tout entier.

Étape 2 —

Je fixe

x = a

et j'étudie la courbe plane

y \mapsto f(a,y)

, puis je fais de même avec

y = b

et la courbe

x \mapsto f(x,b)

À $y = b$ fixé, la coupe est la parabole $x \mapsto x^2 + b^2$ d'axe vertical ; à $x = a$ fixé, on obtient la parabole $y \mapsto a^2 + y^2$ .

Étape 3 —

Je recolle mentalement ces tranches pour décrire l'allure de la surface dans

\mathbb{R}^3

Toutes les tranches sont des paraboles de même forme translatées vers le haut, ce qui donne un paraboloïde de révolution d'axe $(Oz)$ .

La surface $z = x^2 + y^2$ est un paraboloïde de révolution d'axe $(Oz)$ .

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Comment tracer ou interpréter le graphe et les lignes de niveau d'une fonction de deux variables ?

En représentant la surface z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) et ses coupes à xxx ou yyy fixés

Pour comprendre, fais des exercices !

En représentant la surface $z = f(x,y)$ et ses coupes à $x$ ou $y$ fixés