Comment construire un intervalle de confiance du paramètre $p$ d'une loi de Bernoulli ?

En utilisant l'approximation normale de la loi binomiale via le TLC et en majorant $p(1-p)$ par $1/4$

L'objectif

Construire un intervalle de confiance asymptotique du paramètre $p$ d'une loi de Bernoulli au niveau $1-\alpha$ en exploitant le TLC.

Le principe

Pour $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ avec $p\in (0,1)$ , $\sqrt{n}\dfrac{\overline{X}_n - p}{\sqrt{p(1-p)}}\xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ ; en majorant $p(1-p)\leq \frac{1}{4}$ on obtient un IC asymptotique explicite.

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses du TLC : $(X_i)_{1\leq i\leq n}$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ avec $p\in (0,1)$ , d'espérance $p$ et de variance $p(1-p)>0$ .
2
J'applique le TLC : $\sqrt{n}\,\dfrac{\overline{X}_n - p}{\sqrt{p(1-p)}}\xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ , donc $P\!\left(\left|\sqrt{n}\dfrac{\overline{X}_n - p}{\sqrt{p(1-p)}}\right|\leq u_{1-\alpha/2}\right)\longrightarrow 1-\alpha$ .
3
Je traduis cette inégalité en $|\overline{X}_n - p|\leq u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}$ puis je majore uniformément $\sqrt{p(1-p)}\leq \frac{1}{2}$ .
4
Je conclus : $\left[\overline{X}_n - \dfrac{u_{1-\alpha/2}}{2\sqrt{n}},\; \overline{X}_n + \dfrac{u_{1-\alpha/2}}{2\sqrt{n}}\right]$ est un intervalle de confiance asymptotique de $p$ au niveau $1-\alpha$ .
Comment construire un intervalle de confiance asymptotique au niveau $1-\alpha$ à l'aide du TLC ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En utilisant l'approximation normale de la loi binomiale via le TLC et en majorant p(1−p)p(1-p)p(1−p) par 1/41/41/4

Exemple corrigé

En utilisant l'approximation normale de la loi binomiale via le TLC et en majorant $p(1-p)$ par $1/4$