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Estimation statistique — cours et méthodes ECG2 approfondies | MetMat
Méthodes
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ECG 2ème année Maths Approfondies
ECG 2ème année Maths Approfondies
Estimation statistique
Échantillonnage, estimation ponctuelle d'un paramètre inconnu
θ
\theta
θ
et estimation par intervalle de confiance d'une fonction
g
(
θ
)
g(\theta)
g
(
θ
)
.
Maîtriser
Reconnaître
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0/23 maîtrisées
1
Maîtriser
Comment définir et reconnaître un
n
n
n
-échantillon
(
X
1
,
…
,
X
n
)
(X_1, \dots, X_n)
(
X
1
,
…
,
X
n
)
associé à une variable
X
X
X
?
En vérifiant que les
X
i
X_i
X
i
sont mutuellement indépendantes et toutes de même loi que
X
X
X
Nouveau
En identifiant l'échantillon-type associé à une loi usuelle
Nouveau
Comment construire un estimateur
T
n
=
φ
(
X
1
,
…
,
X
n
)
T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)
T
n
=
φ
(
X
1
,
…
,
X
n
)
d'un paramètre
g
(
θ
)
g(\theta)
g
(
θ
)
?
En choisissant une statistique naturelle : moyenne empirique, fréquence, variance empirique
Nouveau
En appliquant la méthode des moments
g
(
θ
)
=
h
(
E
θ
(
X
)
)
g(\theta) = h(E_\theta(X))
g
(
θ
)
=
h
(
E
θ
(
X
))
avec
T
n
=
h
(
X
‾
n
)
T_n = h(\overline{X}_n)
T
n
=
h
(
X
n
)
Nouveau
Comment calculer l'estimation
φ
(
x
1
,
…
,
x
n
)
\varphi(x_1, \dots, x_n)
φ
(
x
1
,
…
,
x
n
)
obtenue à partir d'un échantillon observé ?
Nouveau
Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant
E
θ
(
T
n
)
=
g
(
θ
)
E_\theta(T_n) = g(\theta)
E
θ
(
T
n
)
=
g
(
θ
)
?
En calculant
E
θ
(
T
n
)
E_\theta(T_n)
E
θ
(
T
n
)
par linéarité et en utilisant
E
θ
(
X
i
)
=
E
θ
(
X
)
E_\theta(X_i) = E_\theta(X)
E
θ
(
X
i
)
=
E
θ
(
X
)
Nouveau
En exhibant le biais
b
(
θ
)
=
E
θ
(
T
n
)
−
g
(
θ
)
b(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)
b
(
θ
)
=
E
θ
(
T
n
)
−
g
(
θ
)
puis en corrigeant par un facteur multiplicatif
Nouveau
Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne empirique
X
‾
n
\overline{X}_n
X
n
et de la variance empirique ?
En utilisant la linéarité de l'espérance et l'indépendance pour obtenir
E
(
X
‾
n
)
=
m
E(\overline{X}_n) = m
E
(
X
n
)
=
m
et
V
(
X
‾
n
)
=
σ
2
/
n
V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n
V
(
X
n
)
=
σ
2
/
n
Nouveau
En développant
S
n
2
=
1
n
∑
X
i
2
−
X
‾
n
2
S_n^2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - \overline{X}_n^2
S
n
2
=
n
1
∑
X
i
2
−
X
n
2
pour calculer son espérance et identifier son biais
Nouveau
Comment montrer qu'une suite d'estimateurs est convergente via la condition suffisante
E
(
T
n
)
→
g
(
θ
)
E(T_n)\to g(\theta)
E
(
T
n
)
→
g
(
θ
)
et
V
(
T
n
)
→
0
V(T_n)\to 0
V
(
T
n
)
→
0
?
En vérifiant que
T
n
T_n
T
n
est sans biais et que
V
(
T
n
)
→
0
V(T_n)\to 0
V
(
T
n
)
→
0
pour appliquer Bienaymé-Tchebychev
Nouveau
En combinant
E
(
T
n
)
→
g
(
θ
)
E(T_n)\to g(\theta)
E
(
T
n
)
→
g
(
θ
)
et
V
(
T
n
)
→
0
V(T_n)\to 0
V
(
T
n
)
→
0
pour un estimateur asymptotiquement sans biais
Nouveau
Comment exploiter l'inégalité de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev pour établir la convergence d'un estimateur ?
En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais pour majorer
P
(
∣
T
n
−
g
(
θ
)
∣
≥
ε
)
P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)
P
(
∣
T
n
−
g
(
θ
)
∣
≥
ε
)
Nouveau
En appliquant l'inégalité de Markov à
(
T
n
−
g
(
θ
)
)
2
(T_n - g(\theta))^2
(
T
n
−
g
(
θ
)
)
2
pour contrôler un estimateur biaisé
Nouveau
Comment construire un intervalle de confiance de
g
(
θ
)
g(\theta)
g
(
θ
)
au niveau
1
−
α
1-\alpha
1
−
α
à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?
En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais et en imposant
V
(
T
n
)
/
ε
2
=
α
V(T_n)/\varepsilon^2 = \alpha
V
(
T
n
)
/
ε
2
=
α
Nouveau
En majorant uniformément
V
(
T
n
)
V(T_n)
V
(
T
n
)
lorsqu'elle dépend de
θ
\theta
θ
(ex :
p
(
1
−
p
)
≤
1
/
4
p(1-p)\leq 1/4
p
(
1
−
p
)
≤
1/4
)
Nouveau
En imposant la demi-largeur cible de l'IC pour déterminer la taille minimale
n
n
n
d'échantillon
Nouveau
Comment construire un intervalle de confiance du paramètre
p
p
p
d'une loi de Bernoulli ?
En appliquant Bienaymé-Tchebychev à la moyenne empirique et en majorant
p
(
1
−
p
)
p(1-p)
p
(
1
−
p
)
par
1
/
4
1/4
1/4
Nouveau
En utilisant l'approximation normale de la loi binomiale via le TLC et en majorant
p
(
1
−
p
)
p(1-p)
p
(
1
−
p
)
par
1
/
4
1/4
1/4
Nouveau
Comment construire un intervalle de confiance de la moyenne d'une loi normale d'écart-type connu ?
En utilisant que
X
‾
n
∼
N
(
m
,
σ
2
/
n
)
\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)
X
n
∼
N
(
m
,
σ
2
/
n
)
et les quantiles
u
1
−
α
/
2
u_{1-\alpha/2}
u
1
−
α
/2
Nouveau
En appliquant Bienaymé-Tchebychev comme borne plus grossière indépendante de la normalité
Nouveau
Comment construire un intervalle de confiance asymptotique au niveau
1
−
α
1-\alpha
1
−
α
à l'aide du TLC ?
Nouveau
Comment comparer deux estimateurs ou deux intervalles de confiance ?
En comparant biais et variance de deux estimateurs ponctuels du même paramètre
Nouveau
En comparant les demi-largeurs de deux intervalles de confiance au même niveau
1
−
α
1-\alpha
1
−
α
Nouveau
Reconnaître
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.
Résoudre
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.