Comment définir et reconnaître… : En vérifiant que les X_i sont… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment définir et reconnaître un $n$ -échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ associé à une variable $X$ ?

En vérifiant que les $X_i$ sont mutuellement indépendantes et toutes de même loi que $X$

Justifier rigoureusement qu'une famille $(X_1, \dots, X_n)$ donnée est un $n$ -échantillon associé à la variable $X$ .

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Reconnaître

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On interroge $n$ personnes choisies au hasard avec remise dans une population et on note $X_i = 1$ si la $i$ -ème personne interrogée vote pour un candidat $A$ (de proportion inconnue $p$ dans la population), $0$ sinon. Montrer que $(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon associé à la variable de Bernoulli $X \sim \mathcal{B}(p)$ .

L'objectif

Justifier rigoureusement qu'une famille $(X_1, \dots, X_n)$ donnée est un $n$ -échantillon associé à la variable $X$ .

Le principe

Un $n$ -échantillon de la variable $X$ est, par définition, une famille $(X_1, \dots, X_n)$ de variables aléatoires mutuellement indépendantes et toutes de même loi que $X$ ; sous un modèle paramétrique $(P_\theta)_\theta$ , l'indépendance doit être $P_\theta$ -indépendance pour tout $\theta$ .

La méthode

1
J'identifie la variable de référence $X$ (loi, paramètre inconnu $\theta$ éventuel) et le contexte expérimental (tirages répétés, mesures successives, sondage).
2
Je vérifie que toutes les $X_i$ ont la même loi que $X$ : je montre que chaque $X_i$ suit la loi de $X$ (souvent évident si chaque $X_i$ modélise la même expérience répétée à l'identique).
3
Je vérifie l'indépendance mutuelle des $X_i$ (sous $P_\theta$ pour tout $\theta$ dans le cadre paramétrique), en invoquant l'indépendance des expériences ou l'hypothèse de l'énoncé.
4
Je conclus que $(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon de la variable $X$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

J'identifie la variable de référence

X

(loi, paramètre inconnu

\theta

éventuel) et le contexte expérimental (tirages répétés, mesures successives, sondage).

La variable de référence est $X \sim \mathcal{B}(p)$ qui modélise le vote d'un individu pour $A$ , avec $p$ inconnu.

Étape 2 —

Je vérifie que toutes les

X_i

ont la même loi que

X

: je montre que chaque

X_i

suit la loi de

X

(souvent évident si chaque

X_i

modélise la même expérience répétée à l'identique).

Chaque $X_i$ prend les valeurs $0$ ou $1$ avec $P_p(X_i = 1) = p$ et $P_p(X_i = 0) = 1 - p$ , donc $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ : toutes les $X_i$ ont la même loi que $X$ .

Étape 3 —

Je vérifie l'indépendance mutuelle des

X_i

(sous

P_\theta

pour tout

\theta

dans le cadre paramétrique), en invoquant l'indépendance des expériences ou l'hypothèse de l'énoncé.

Le tirage avec remise garantit que les réponses des $n$ personnes sont $P_p$ -mutuellement indépendantes, pour tout $p \in [0, 1]$ .

Étape 4 —

Je conclus que

(X_1, \dots, X_n)

est un

n

-échantillon de la variable

X

Donc $(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon associé à $X \sim \mathcal{B}(p)$ .

$(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon de $X \sim \mathcal{B}(p)$ .

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En vérifiant que les XiX_iXi​ sont mutuellement indépendantes et toutes de même loi que XXX

Pour comprendre, fais des exercices !

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En vérifiant que les $X_i$ sont mutuellement indépendantes et toutes de même loi que $X$