Comment construire un… : En appliquant la méthode des moments… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment construire un estimateur $T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)$ d'un paramètre $g(\theta)$ ?

En appliquant la méthode des moments $g(\theta) = h(E_\theta(X))$ avec $T_n = h(\overline{X}_n)$

Construire systématiquement un estimateur de $g(\theta)$ en inversant la relation entre moments théoriques et paramètre.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ inconnu. Proposer un estimateur de $\lambda$ .

L'objectif

Construire systématiquement un estimateur de $g(\theta)$ en inversant la relation entre moments théoriques et paramètre.

Le principe

Si $g(\theta) = h(E_\theta(X))$ avec $h$ continue, on estime $g(\theta)$ par $T_n = h(\overline{X}_n)$ : la LFGN assure $\overline{X}_n \to E_\theta(X)$ et la continuité de $h$ entraîne $T_n \to g(\theta)$ en probabilité.

La méthode

1
J'exprime $g(\theta)$ en fonction du ou des premiers moments $E_\theta(X), E_\theta(X^2), \dots$ via une fonction $h$ continue.
2
Je remplace chaque moment théorique $E_\theta(X^k)$ par son analogue empirique $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k$ .
3
Je pose l'estimateur $T_n = h(\overline{X}_n)$ (ou $h$ appliquée aux moments empiriques nécessaires).
4
Je conclus en précisant que l'heuristique est justifiée par la LFGN et la continuité de $h$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ inconnu. Proposer un estimateur de $\lambda$ .

Étape 1 —

J'exprime

g(\theta)

en fonction du ou des premiers moments

E_\theta(X), E_\theta(X^2), \dots

via une fonction

h

continue.

On sait que $E_\lambda(X) = 1/\lambda$ , donc $\lambda = 1/E_\lambda(X) = h(E_\lambda(X))$ avec $h(y) = 1/y$ , continue sur $\mathbb{R}_+^*$ .

Étape 2 —

Je remplace chaque moment théorique

E_\theta(X^k)

par son analogue empirique

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k

On remplace $E_\lambda(X)$ par son analogue empirique $\overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ .

Étape 3 —

Je pose l'estimateur

T_n = h(\overline{X}_n)

(ou

h

appliquée aux moments empiriques nécessaires).

On pose $T_n = h(\overline{X}_n) = 1/\overline{X}_n$ (défini presque sûrement pour $n$ assez grand car $\overline{X}_n > 0$ ).

Étape 4 —

Je conclus en précisant que l'heuristique est justifiée par la LFGN et la continuité de

h

$T_n = 1/\overline{X}_n$ est un estimateur de $\lambda$ , justifié par LFGN et continuité de $y \mapsto 1/y$ .

$T_n = 1/\overline{X}_n$ estime $\lambda$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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En appliquant la méthode des moments $g(\theta) = h(E_\theta(X))$ avec $T_n = h(\overline{X}_n)$