Comment construire un… : En appliquant Bienaymé-Tchebychev à la… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment construire un intervalle de confiance du paramètre $p$ d'une loi de Bernoulli ?

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à la moyenne empirique et en majorant $p(1-p)$ par $1/4$

Construire un intervalle de confiance non asymptotique du paramètre $p$ d'une loi de Bernoulli au niveau de confiance $1-\alpha$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On interroge $n=400$ personnes pour estimer la proportion $p$ d'électeurs favorables à un candidat. On observe $\overline{x}_n = 0{,}52$ . Donner un intervalle de confiance de $p$ au niveau $95\%$ .

L'objectif

Construire un intervalle de confiance non asymptotique du paramètre $p$ d'une loi de Bernoulli au niveau de confiance $1-\alpha$ .

Le principe

Pour un $n$ -échantillon $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ , on a $E(\overline{X}_n)=p$ et $V(\overline{X}_n)=\frac{p(1-p)}{n}\leq \frac{1}{4n}$ , donc Bienaymé-Tchebychev donne $P(|\overline{X}_n - p|\geq \varepsilon)\leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .

La méthode

1
Je pose un $n$ -échantillon $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ et l'estimateur $\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ de $p$ , qui est sans biais et de variance $\frac{p(1-p)}{n}$ .
Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?Voir
2
Je majore la variance à l'aide de $p(1-p)\leq \frac{1}{4}$ pour tout $p\in[0,1]$ , puis j'applique Bienaymé-Tchebychev : $P(|\overline{X}_n - p|\geq \varepsilon)\leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
3
J'impose $\frac{1}{4n\varepsilon^2}=\alpha$ pour obtenir le niveau $1-\alpha$ , ce qui donne $\varepsilon = \frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}$ .
4
Je conclus : $\left[\overline{X}_n - \frac{1}{2\sqrt{n\alpha}},\; \overline{X}_n + \frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}\right]$ est un intervalle de confiance de $p$ au niveau $1-\alpha$ .
Comment construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je pose un

n

-échantillon

(X_1,\dots,X_n)

i.i.d. de loi

\mathcal{B}(p)

et l'estimateur

\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i

p

, qui est sans biais et de variance

\frac{p(1-p)}{n}

On modélise chaque réponse par $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ indépendantes et on pose $\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum X_i$ , d'espérance $p$ et de variance $\frac{p(1-p)}{n}$ .

Étape 2 —

Je majore la variance à l'aide de

p(1-p)\leq \frac{1}{4}

pour tout

p\in[0,1]

, puis j'applique Bienaymé-Tchebychev :

P(|\overline{X}_n - p|\geq \varepsilon)\leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}

On majore $p(1-p)\leq \frac{1}{4}$ donc $P(|\overline{X}_n - p|\geq \varepsilon)\leq \frac{1}{4\cdot 400\cdot \varepsilon^2}= \frac{1}{1600\varepsilon^2}$ .

Étape 3 —

J'impose

\frac{1}{4n\varepsilon^2}=\alpha

pour obtenir le niveau

1-\alpha

, ce qui donne

\varepsilon = \frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}

On pose $\alpha = 0{,}05$ : $\varepsilon = \frac{1}{2\sqrt{400\cdot 0{,}05}} = \frac{1}{2\sqrt{20}} \approx 0{,}1118$ .

Étape 4 —

Je conclus :

\left[\overline{X}_n - \frac{1}{2\sqrt{n\alpha}},\; \overline{X}_n + \frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}\right]

est un intervalle de confiance de

p

au niveau

1-\alpha

L'IC est $[0{,}52 - 0{,}1118,\; 0{,}52 + 0{,}1118] = [0{,}408,\; 0{,}632]$ au niveau $95\%$ .

$\mathrm{IC}_{95\%}(p) = \left[\overline{X}_n \pm \frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}\right] \approx [0{,}408,\; 0{,}632]$ .

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Comment construire un intervalle de confiance du paramètre ppp d'une loi de Bernoulli ?

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à la moyenne empirique et en majorant p(1−p)p(1-p)p(1−p) par 1/41/41/4

Pour comprendre, fais des exercices !

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En appliquant Bienaymé-Tchebychev à la moyenne empirique et en majorant $p(1-p)$ par $1/4$