Comment montrer qu'un… : En calculant E_theta(T_n) par linéarité… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?

En calculant $E_\theta(T_n)$ par linéarité et en utilisant $E_\theta(X_i) = E_\theta(X)$

Démontrer directement qu'un estimateur est sans biais en calculant son espérance.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi de moyenne $m$ . Montrer que $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais de $m$ .

L'objectif

Démontrer directement qu'un estimateur est sans biais en calculant son espérance.

Le principe

Un estimateur $T_n$ est sans biais pour $g(\theta)$ si $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ pour tout $\theta$ ; la linéarité de l'espérance et l'égalité $E_\theta(X_i) = E_\theta(X)$ permettent souvent de ramener le calcul à une seule espérance.

La méthode

1
Je m'assure que les espérances $E_\theta(X_i)$ (et éventuellement $E_\theta(X_i^2)$ ) existent sous la loi considérée, afin de pouvoir appliquer la linéarité.
2
J'applique la linéarité : $E_\theta(T_n) = E_\theta(\varphi(X_1, \dots, X_n))$ en développant $\varphi$ et en sortant les constantes.
3
Je remplace chaque $E_\theta(X_i)$ par $E_\theta(X)$ (même loi) et je simplifie pour obtenir $E_\theta(T_n)$ en fonction de $\theta$ .
4
Je compare $E_\theta(T_n)$ à $g(\theta)$ : si égalité pour tout $\theta$ , alors $T_n$ est sans biais ; sinon j'explicite le biais $b(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi de moyenne $m$ . Montrer que $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais de $m$ .

Étape 1 —

Je m'assure que les espérances

E_\theta(X_i)

(et éventuellement

E_\theta(X_i^2)

) existent sous la loi considérée, afin de pouvoir appliquer la linéarité.

Les $X_i$ suivent la même loi que $X$ d'espérance $m$ , donc $E(X_i) = m$ existe pour tout $i$ .

Étape 2 —

J'applique la linéarité :

E_\theta(T_n) = E_\theta(\varphi(X_1, \dots, X_n))

en développant

\varphi

et en sortant les constantes.

Par linéarité : $E(\overline{X}_n) = E\bigl(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)$ .

Étape 3 —

Je remplace chaque

E_\theta(X_i)

par

E_\theta(X)

(même loi) et je simplifie pour obtenir

E_\theta(T_n)

en fonction de

\theta

En remplaçant $E(X_i) = m$ : $E(\overline{X}_n) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot m = m$ .

Étape 4 —

Je compare

E_\theta(T_n)

g(\theta)

: si égalité pour tout

\theta

, alors

T_n

est sans biais ; sinon j'explicite le biais

b(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)

Ainsi $E(\overline{X}_n) = m$ pour tout $m$ , donc $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais de $m$ .

$\overline{X}_n$ est sans biais pour $m$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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En calculant $E_\theta(T_n)$ par linéarité et en utilisant $E_\theta(X_i) = E_\theta(X)$