Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?

En exhibant le biais $b(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)$ puis en corrigeant par un facteur multiplicatif

L'objectif

Construire un estimateur sans biais à partir d'un estimateur biaisé en corrigeant par une constante calculable.

Le principe

Si un estimateur $T_n$ vérifie $E_\theta(T_n) = c(n) \cdot g(\theta)$ avec $c(n)$ indépendant de $\theta$ et $c(n) \neq 0$ , alors $T_n' = T_n / c(n)$ satisfait $E_\theta(T_n') = g(\theta)$ et est sans biais.

La méthode

1
Je calcule $E_\theta(T_n)$ par linéarité et par les propriétés des $X_i$ (espérance, variance, indépendance).
2
J'écris $E_\theta(T_n)$ sous la forme $c(n) \cdot g(\theta)$ où $c(n)$ ne dépend pas de $\theta$ , et j'identifie le biais $b(\theta) = (c(n) - 1) \cdot g(\theta)$ .
3
Je pose $T_n' = T_n / c(n)$ (si $c(n) \neq 0$ ) et je vérifie $E_\theta(T_n') = g(\theta)$ .
4
Je conclus que $T_n'$ est un estimateur sans biais de $g(\theta)$ , déduit de $T_n$ par correction multiplicative.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En exhibant le biais b(θ)=Eθ(Tn)−g(θ)b(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)b(θ)=Eθ​(Tn​)−g(θ) puis en corrigeant par un facteur multiplicatif

Exemple corrigé

En exhibant le biais $b(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)$ puis en corrigeant par un facteur multiplicatif