Comment construire un… : En utilisant l'approximation normale de… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment construire un intervalle de confiance du paramètre $p$ d'une loi de Bernoulli ?

En utilisant l'approximation normale de la loi binomiale via le TLC et en majorant $p(1-p)$ par $1/4$

Construire un intervalle de confiance asymptotique du paramètre $p$ d'une loi de Bernoulli au niveau $1-\alpha$ en exploitant le TLC.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans le sondage précédent ( $n=400$ , $\overline{x}_n = 0{,}52$ ), donner un IC asymptotique de $p$ au niveau $95\%$ et comparer à l'IC de Bienaymé-Tchebychev.

L'objectif

Construire un intervalle de confiance asymptotique du paramètre $p$ d'une loi de Bernoulli au niveau $1-\alpha$ en exploitant le TLC.

Le principe

Pour $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ avec $p\in ]0,1[$ , $\sqrt{n}\dfrac{\overline{X}_n - p}{\sqrt{p(1-p)}}\xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ ; en majorant $p(1-p)\leq \frac{1}{4}$ on obtient un IC asymptotique explicite.

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses du TLC : $(X_i)_{1\leq i\leq n}$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ avec $p\in ]0,1[$ , d'espérance $p$ et de variance $p(1-p)>0$ .
2
J'applique le TLC : $\sqrt{n}\,\dfrac{\overline{X}_n - p}{\sqrt{p(1-p)}}\xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ , donc $P\!\left(\left|\sqrt{n}\dfrac{\overline{X}_n - p}{\sqrt{p(1-p)}}\right|\leq u_{1-\alpha/2}\right)\longrightarrow 1-\alpha$ .
3
Je traduis cette inégalité en $|\overline{X}_n - p|\leq u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}$ puis je majore uniformément $\sqrt{p(1-p)}\leq \frac{1}{2}$ .
4
Je conclus : $\left[\overline{X}_n - \dfrac{u_{1-\alpha/2}}{2\sqrt{n}},\; \overline{X}_n + \dfrac{u_{1-\alpha/2}}{2\sqrt{n}}\right]$ est un intervalle de confiance asymptotique de $p$ au niveau $1-\alpha$ .
Comment construire un intervalle de confiance asymptotique au niveau $1-\alpha$ à l'aide du TLC ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans le sondage précédent ( $n=400$ , $\overline{x}_n = 0{,}52$ ), donner un IC asymptotique de $p$ au niveau $95\%$ et comparer à l'IC de Bienaymé-Tchebychev.

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses du TLC :

(X_i)_{1\leq i\leq n}

i.i.d. de loi

\mathcal{B}(p)

avec

p\in ]0,1[

, d'espérance

p

et de variance

p(1-p)>0

Les $X_i$ sont i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ avec $p\in ]0,1[$ ; $E(X_i)=p$ et $V(X_i)=p(1-p)>0$ : les hypothèses du TLC sont vérifiées.

Étape 2 —

J'applique le TLC :

\sqrt{n}\,\dfrac{\overline{X}_n - p}{\sqrt{p(1-p)}}\xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)

, donc

P\!\left(\left|\sqrt{n}\dfrac{\overline{X}_n - p}{\sqrt{p(1-p)}}\right|\leq u_{1-\alpha/2}\right)\longrightarrow 1-\alpha

Au niveau $95\%$ , $u_{1-\alpha/2}= u_{0,975}\approx 1{,}96$ ; on a $\sqrt{400}\dfrac{\overline{X}_n - p}{\sqrt{p(1-p)}}\approx \mathcal{N}(0,1)$ .

Étape 3 —

Je traduis cette inégalité en

|\overline{X}_n - p|\leq u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}

puis je majore uniformément

\sqrt{p(1-p)}\leq \frac{1}{2}

On majore $\sqrt{p(1-p)}\leq 1/2$ : la demi-largeur vaut $\dfrac{1{,}96}{2\sqrt{400}}= \dfrac{1{,}96}{40}=0{,}049$ .

Étape 4 —

Je conclus :

\left[\overline{X}_n - \dfrac{u_{1-\alpha/2}}{2\sqrt{n}},\; \overline{X}_n + \dfrac{u_{1-\alpha/2}}{2\sqrt{n}}\right]

est un intervalle de confiance asymptotique de

p

au niveau

1-\alpha

IC asymptotique : $[0{,}52 - 0{,}049,\; 0{,}52 + 0{,}049] = [0{,}471,\; 0{,}569]$ , environ 2,3 fois plus étroit que celui de Bienaymé-Tchebychev ( $\approx 0{,}224$ de largeur).

$\mathrm{IC}_{95\%}^{\mathrm{asymp}}(p) \approx [0{,}471,\; 0{,}569]$ , nettement plus précis que l'IC via Bienaymé-Tchebychev.

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Comment construire un intervalle de confiance du paramètre ppp d'une loi de Bernoulli ?

En utilisant l'approximation normale de la loi binomiale via le TLC et en majorant p(1−p)p(1-p)p(1−p) par 1/41/41/4

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment construire un intervalle de confiance du paramètre $p$ d'une loi de Bernoulli ?

En utilisant l'approximation normale de la loi binomiale via le TLC et en majorant $p(1-p)$ par $1/4$