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Comment construire un intervalle de confiance du paramètre pp d'une loi de Bernoulli ?

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à la moyenne empirique et en majorant p(1−p)p(1-p) par 1/41/4

L'objectif

Construire un intervalle de confiance non asymptotique du paramètre pp d'une loi de Bernoulli au niveau de confiance 1−α1-\alpha.

Le principe

Pour un nn-échantillon (X1,…,Xn)(X_1,\dots,X_n) i.i.d. de loi B(p)\mathcal{B}(p), on a E(X‾n)=pE(\overline{X}_n)=p et V(X‾n)=p(1−p)n≤14nV(\overline{X}_n)=\frac{p(1-p)}{n}\leq \frac{1}{4n}, donc Bienaymé-Tchebychev donne P(∣X‾n−p∣≥ε)≤14nε2P(|\overline{X}_n - p|\geq \varepsilon)\leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}.

La méthode
  1. 1
    Je pose un nn-échantillon (X1,…,Xn)(X_1,\dots,X_n) i.i.d. de loi B(p)\mathcal{B}(p) et l'estimateur X‾n=1n∑i=1nXi\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i de pp, qui est sans biais et de variance p(1−p)n\frac{p(1-p)}{n}.
    Voir
  2. 2
    Je majore la variance à l'aide de p(1−p)≤14p(1-p)\leq \frac{1}{4} pour tout p∈[0,1]p\in[0,1], puis j'applique Bienaymé-Tchebychev : P(∣X‾n−p∣≥ε)≤p(1−p)nε2≤14nε2P(|\overline{X}_n - p|\geq \varepsilon)\leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}.
    Voir
  3. 3
    J'impose 14nε2=α\frac{1}{4n\varepsilon^2}=\alpha pour obtenir le niveau 1−α1-\alpha, ce qui donne ε=12nα\varepsilon = \frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}.
  4. 4
    Je conclus : [X‾n−12nα,  X‾n+12nα]\left[\overline{X}_n - \frac{1}{2\sqrt{n\alpha}},\; \overline{X}_n + \frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}\right] est un intervalle de confiance de pp au niveau 1−α1-\alpha.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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