Comment construire un… : En majorant uniformément V(T_n)… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?

En majorant uniformément $V(T_n)$ lorsqu'elle dépend de $\theta$ (ex : $p(1-p)\leq 1/4$ )

Construire un IC au niveau $\geq 1-\alpha$ lorsque $V(T_n)$ dépend de $\theta$ , en la majorant par une constante indépendante de $\theta$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ , $n=100$ , $\overline{x}_n = 0{,}3$ . Donner un IC de $p$ au niveau $95\%$ via majoration $p(1-p)\leq 1/4$ .

L'objectif

Construire un IC au niveau $\geq 1-\alpha$ lorsque $V(T_n)$ dépend de $\theta$ , en la majorant par une constante indépendante de $\theta$ .

Le principe

Si $V_\theta(T_n)\leq M/n$ pour tout $\theta$ (ex: $p(1-p)\leq 1/4$ ), alors Bienaymé-Tchebychev donne $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq M/(n\varepsilon^2)$ ; l'imposition $M/(n\varepsilon^2)=\alpha$ fournit un IC valide uniformément en $\theta$ .

La méthode

1
Je vérifie que $T_n$ est sans biais pour $g(\theta)$ et que $V_\theta(T_n)$ dépend de $\theta$ via une fonction bornée (ex : $V_\theta(\overline{X}_n) = p(1-p)/n$ ).
Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?Voir
2
Je majore uniformément $V_\theta(T_n)\leq M/n$ pour tout $\theta$ (par ex. $p(1-p)\leq 1/4$ sur $[0,1]$ , établi par étude de $p\mapsto p(1-p)$ ).
3
J'applique Bienaymé-Tchebychev : $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq M/(n\varepsilon^2)$ , puis j'impose $M/(n\varepsilon^2) = \alpha$ soit $\varepsilon = \sqrt{M/(n\alpha)}$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
4
Je conclus : $\mathrm{IC}_{1-\alpha} = \left[T_n \pm \sqrt{M/(n\alpha)}\right]$ est un IC de niveau $\geq 1-\alpha$ valide pour tout $\theta$ (conservatif).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ , $n=100$ , $\overline{x}_n = 0{,}3$ . Donner un IC de $p$ au niveau $95\%$ via majoration $p(1-p)\leq 1/4$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

T_n

est sans biais pour

g(\theta)

et que

V_\theta(T_n)

dépend de

\theta

via une fonction bornée (ex :

V_\theta(\overline{X}_n) = p(1-p)/n

$\overline{X}_n$ est sans biais pour $p$ , $V(\overline{X}_n) = p(1-p)/n$ dépend de $p$ .

Étape 2 —

Je majore uniformément

V_\theta(T_n)\leq M/n

pour tout

\theta

(par ex.

p(1-p)\leq 1/4

sur

[0,1]

, établi par étude de

p\mapsto p(1-p)

L'étude de $p\mapsto p(1-p)$ sur $[0,1]$ donne $p(1-p)\leq 1/4$ (maximum en $p=1/2$ ) ; donc $V(\overline{X}_n)\leq 1/(4n)$ .

Étape 3 —

J'applique Bienaymé-Tchebychev :

P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq M/(n\varepsilon^2)

, puis j'impose

M/(n\varepsilon^2) = \alpha

soit

\varepsilon = \sqrt{M/(n\alpha)}

Bienaymé-Tchebychev : $P(|\overline{X}_n - p|\geq \varepsilon)\leq 1/(4n\varepsilon^2) = 1/(400\varepsilon^2)$ ; on impose ceci $=0{,}05$ : $\varepsilon = 1/\sqrt{20}\approx 0{,}224$ .

Étape 4 —

Je conclus :

\mathrm{IC}_{1-\alpha} = \left[T_n \pm \sqrt{M/(n\alpha)}\right]

est un IC de niveau

\geq 1-\alpha

valide pour tout

\theta

(conservatif).

$\mathrm{IC}_{95\%}(p) = [0{,}3 - 0{,}224,\; 0{,}3 + 0{,}224] = [0{,}076,\; 0{,}524]$ , valide pour tout $p\in[0,1]$ .

$\mathrm{IC}_{95\%}(p) \approx [0{,}076,\; 0{,}524]$ (via $p(1-p)\leq 1/4$ ).

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Comment construire un intervalle de confiance de g(θ)g(\theta)g(θ) au niveau 1−α1-\alpha1−α à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?

En majorant uniformément V(Tn)V(T_n)V(Tn​) lorsqu'elle dépend de θ\thetaθ (ex : p(1−p)≤1/4p(1-p)\leq 1/4p(1−p)≤1/4)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?

En majorant uniformément $V(T_n)$ lorsqu'elle dépend de $\theta$ (ex : $p(1-p)\leq 1/4$ )