Comment construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais et en imposant $V(T_n)/\varepsilon^2 = \alpha$

L'objectif

Construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à partir d'un estimateur sans biais $T_n$ de variance connue.

Le principe

Bienaymé-Tchebychev donne $P(|T_n - g(\theta)|\leq \varepsilon)\geq 1 - V(T_n)/\varepsilon^2$ ; en imposant $V(T_n)/\varepsilon^2 = \alpha$ , on obtient la demi-largeur $\varepsilon = \sqrt{V(T_n)/\alpha}$ de l'IC.

La méthode

1
Je vérifie que $T_n$ est sans biais pour $g(\theta)$ : $E(T_n) = g(\theta)$ , et que $V(T_n)$ est finie.
Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?Voir
2
J'applique Bienaymé-Tchebychev : pour tout $\varepsilon > 0$ , $P(|T_n - g(\theta)|\leq \varepsilon)\geq 1 - V(T_n)/\varepsilon^2$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
3
J'impose $V(T_n)/\varepsilon^2 = \alpha$ , soit $\varepsilon = \sqrt{V(T_n)/\alpha}$ (demi-largeur de l'IC).
4
Je conclus : $\mathrm{IC}_{1-\alpha} = \left[T_n - \sqrt{V(T_n)/\alpha},\; T_n + \sqrt{V(T_n)/\alpha}\right]$ est un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $\geq 1-\alpha$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais et en imposant V(Tn)/ε2=αV(T_n)/\varepsilon^2 = \alphaV(Tn​)/ε2=α

Exemple corrigé

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais et en imposant $V(T_n)/\varepsilon^2 = \alpha$