Comment construire un… : En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais et en imposant $V(T_n)/\varepsilon^2 = \alpha$

Construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à partir d'un estimateur sans biais $T_n$ de variance connue.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{E}(\lambda)$ . Construire un IC de $1/\lambda$ au niveau $95\%$ avec $n=100$ observations et $\overline{x}_n = 2$ , sachant $\sigma^2 = 1/\lambda^2$ estimé par $\overline{X}_n^2$ .

L'objectif

Construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à partir d'un estimateur sans biais $T_n$ de variance connue.

Le principe

Bienaymé-Tchebychev donne $P(|T_n - g(\theta)|\leq \varepsilon)\geq 1 - V(T_n)/\varepsilon^2$ ; en imposant $V(T_n)/\varepsilon^2 = \alpha$ , on obtient la demi-largeur $\varepsilon = \sqrt{V(T_n)/\alpha}$ de l'IC.

La méthode

1
Je vérifie que $T_n$ est sans biais pour $g(\theta)$ : $E(T_n) = g(\theta)$ , et que $V(T_n)$ est finie.
Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?Voir
2
J'applique Bienaymé-Tchebychev : pour tout $\varepsilon > 0$ , $P(|T_n - g(\theta)|\leq \varepsilon)\geq 1 - V(T_n)/\varepsilon^2$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
3
J'impose $V(T_n)/\varepsilon^2 = \alpha$ , soit $\varepsilon = \sqrt{V(T_n)/\alpha}$ (demi-largeur de l'IC).
4
Je conclus : $\mathrm{IC}_{1-\alpha} = \left[T_n - \sqrt{V(T_n)/\alpha},\; T_n + \sqrt{V(T_n)/\alpha}\right]$ est un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $\geq 1-\alpha$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie que

T_n

est sans biais pour

g(\theta)

E(T_n) = g(\theta)

, et que

V(T_n)

est finie.

$T_n = \overline{X}_n$ est sans biais pour $1/\lambda$ , $V(T_n) = 1/(n\lambda^2)$ finie ; on estime $\sigma^2 = 1/\lambda^2$ par $\widehat{\sigma}^2 = \overline{X}_n^2 = 4$ .

Étape 2 —

J'applique Bienaymé-Tchebychev : pour tout

\varepsilon > 0

P(|T_n - g(\theta)|\leq \varepsilon)\geq 1 - V(T_n)/\varepsilon^2

Bienaymé-Tchebychev : $P(|\overline{X}_n - 1/\lambda|\leq \varepsilon)\geq 1 - V(\overline{X}_n)/\varepsilon^2 \approx 1 - 4/(100\varepsilon^2)$ .

Étape 3 —

J'impose

V(T_n)/\varepsilon^2 = \alpha

, soit

\varepsilon = \sqrt{V(T_n)/\alpha}

(demi-largeur de l'IC).

On impose $4/(100\varepsilon^2) = 0{,}05$ , d'où $\varepsilon = \sqrt{4/5} \approx 0{,}894$ .

Étape 4 —

Je conclus :

\mathrm{IC}_{1-\alpha} = \left[T_n - \sqrt{V(T_n)/\alpha},\; T_n + \sqrt{V(T_n)/\alpha}\right]

est un intervalle de confiance de

g(\theta)

au niveau

\geq 1-\alpha

$\mathrm{IC}_{95\%}(1/\lambda) \approx [2 - 0{,}894,\; 2 + 0{,}894] = [1{,}106,\; 2{,}894]$ .

$\mathrm{IC}_{95\%}(1/\lambda) \approx [1{,}11,\; 2{,}89]$ (variance estimée par $\overline{X}_n^2$ ).

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment construire un intervalle de confiance de g(θ)g(\theta)g(θ) au niveau 1−α1-\alpha1−α à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais et en imposant V(Tn)/ε2=αV(T_n)/\varepsilon^2 = \alphaV(Tn​)/ε2=α

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais et en imposant $V(T_n)/\varepsilon^2 = \alpha$