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Comment construire un intervalle de confiance de g(θ)g(\theta) au niveau 1−α1-\alpha à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?

En majorant uniformément V(Tn)V(T_n) lorsqu'elle dépend de θ\theta (ex : p(1−p)≤1/4p(1-p)\leq 1/4)

L'objectif

Construire un IC au niveau ≥1−α\geq 1-\alpha lorsque V(Tn)V(T_n) dépend de θ\theta, en la majorant par une constante indépendante de θ\theta.

Le principe

Si Vθ(Tn)≤M/nV_\theta(T_n)\leq M/n pour tout θ\theta (ex: p(1−p)≤1/4p(1-p)\leq 1/4), alors Bienaymé-Tchebychev donne P(∣Tn−g(θ)∣≥ε)≤M/(nε2)P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq M/(n\varepsilon^2) ; l'imposition M/(nε2)=αM/(n\varepsilon^2)=\alpha fournit un IC valide uniformément en θ\theta.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que TnT_n est sans biais pour g(θ)g(\theta) et que Vθ(Tn)V_\theta(T_n) dépend de θ\theta via une fonction bornée (ex : Vθ(X‾n)=p(1−p)/nV_\theta(\overline{X}_n) = p(1-p)/n).
    Voir
  2. 2
    Je majore uniformément Vθ(Tn)≤M/nV_\theta(T_n)\leq M/n pour tout θ\theta (par ex. p(1−p)≤1/4p(1-p)\leq 1/4 sur [0,1][0,1], établi par étude de p↦p(1−p)p\mapsto p(1-p)).
  3. 3
    J'applique Bienaymé-Tchebychev : P(∣Tn−g(θ)∣≥ε)≤M/(nε2)P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq M/(n\varepsilon^2), puis j'impose M/(nε2)=αM/(n\varepsilon^2) = \alpha soit ε=M/(nα)\varepsilon = \sqrt{M/(n\alpha)}.
    Voir
  4. 4
    Je conclus : IC1−α=[Tn±M/(nα)]\mathrm{IC}_{1-\alpha} = \left[T_n \pm \sqrt{M/(n\alpha)}\right] est un IC de niveau ≥1−α\geq 1-\alpha valide pour tout θ\theta (conservatif).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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