ECG 2ème année Maths Approfondies

Convergences en probabilité et en loi

Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, convergence en probabilité, loi faible des grands nombres, composition par une fonction continue et somme.

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0/17 maîtrisées

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En vérifiant que

E(|X|)

existe puis en écrivant

P(|X| \geq a) \leq E(|X|)/a

Nouveau

En se ramenant à

Y = g(X)

avec

g

croissante positive :

P(|X| \geq a) \leq E(g(|X|))/g(a)

Nouveau

En vérifiant que

V(X)

existe puis en écrivant

P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq V(X)/\varepsilon^2

Nouveau

En l'appliquant à

\overline{X}_n

i.i.d. :

P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \sigma^2/(n \varepsilon^2)

Nouveau

En revenant à la définition :

\forall \varepsilon > 0, P(|X_n - X| \geq \varepsilon) \to 0

Nouveau

En majorant par Bienaymé-Tchebychev : si

E(X_n) \to \ell

V(X_n) \to 0

, alors

X_n \xrightarrow{P} \ell

Nouveau

Comment appliquer la loi faible des grands nombres à une suite de variables i.i.d. ?

Nouveau

Comment exploiter la composition par une fonction continue pour la convergence en probabilité ?

Nouveau

Comment exploiter la somme pour la convergence en probabilité ?

Nouveau

En revenant à la définition :

F_{X_n}(x) \to F_X(x)

en tout point

x

de continuité de

F_X

Nouveau

En exploitant les passages à la limite classiques (équivalents, DL,

(1-\lambda/n)^n \to e^{-\lambda}

)

Nouveau

En appliquant la caractérisation du cours :

X_n, X \in \mathbb{N} \Rightarrow X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X

ssi

\forall k, P(X_n=k) \to P(X=k)

Nouveau

En l'utilisant pour l'approximation Binomiale-Poisson :

X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)

np_n \to \lambda

, alors

X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)

Nouveau

En vérifiant i.i.d.,

E(X) = m

V(X) = \sigma^2 > 0

, puis

X_n^* = (S_n - nm)/(\sigma\sqrt{n}) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)

Nouveau

En standardisant

P(a \leq S_n \leq b) = P((a-nm)/(\sigma\sqrt n) \leq X_n^* \leq (b-nm)/(\sigma\sqrt n)) \approx \Phi(\cdot) - \Phi(\cdot)

Nouveau

Comment justifier l'approximation de la loi binomiale

\mathcal{B}(n,p)

par la loi normale ?

Nouveau

Comment justifier l'approximation de la loi de Poisson par la loi normale ?

Nouveau

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Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.

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Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.