Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?

En vérifiant que $V(X)$ existe puis en écrivant $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq V(X)/\varepsilon^2$

Majorer la probabilité que $X$ s'écarte de son espérance d'au moins $\varepsilon$ , à l'aide de sa variance.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \sim \mathcal{B}(100, 1/2)$ . Majorer $P(|X - 50| \geq 10)$ .

L'objectif

Majorer la probabilité que $X$ s'écarte de son espérance d'au moins $\varepsilon$ , à l'aide de sa variance.

Le principe

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : si $X$ admet une variance $V(X)$ , alors pour tout $\varepsilon > 0$ , $P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $V(X)$ existe (donc $E(X)$ aussi) et je fixe le réel $\varepsilon > 0$ .
2
J'applique Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$ .
3
Je calcule explicitement $E(X)$ et $V(X)$ , puis je substitue dans la borne pour obtenir la majoration finale.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{B}(100, 1/2)$ . Majorer $P(|X - 50| \geq 10)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

V(X)

existe (donc

E(X)

aussi) et je fixe le réel

\varepsilon > 0

.

$X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(100, 1/2)$ , donc $V(X) = 100 \times 1/2 \times 1/2 = 25$ existe ; je fixe $\varepsilon = 10$ .

Étape 2 —

J'applique Bienaymé-Tchebychev :

P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}

.

J'applique Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - E(X)| \geq 10) \leq \dfrac{V(X)}{10^2}$ .

Étape 3 —

Je calcule explicitement

E(X)

et

V(X)

, puis je substitue dans la borne pour obtenir la majoration finale.

Comme $E(X) = 50$ , j'obtiens $P(|X - 50| \geq 10) \leq \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$ .

$P(|X - 50| \geq 10) \leq \dfrac{1}{4}$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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En vérifiant que $V(X)$ existe puis en écrivant $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq V(X)/\varepsilon^2$