Comment caractériser la convergence en loi pour des variables à valeurs dans $\mathbb{N}$ via $P(X_n=k) \to P(X=k)$ ?

En appliquant la caractérisation du cours : $X_n, X \in \mathbb{N} \Rightarrow X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ ssi $\forall k, P(X_n=k) \to P(X=k)$

Utiliser la caractérisation discrète de la convergence en loi pour des variables à valeurs dans $\mathbb{N}$.

En l'utilisant pour l'approximation Binomiale-Poisson : $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$, $np_n \to \lambda$, alors $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)$

Justifier rigoureusement l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson en régime de petits $p$ via la caractérisation discrète.