Comment caractériser la convergence en loi pour des variables à valeurs dans $\mathbb{N}$ via $P(X_n=k) \to P(X=k)$ ? | MetMat

Comment caractériser la convergence en loi pour des variables à valeurs dans $\mathbb{N}$ via $P(X_n=k) \to P(X=k)$ ?

En appliquant la caractérisation du cours : $X_n, X \in \mathbb{N} \Rightarrow X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ ssi $\forall k, P(X_n=k) \to P(X=k)$

Démontrer la convergence en loi de suites de variables à valeurs dans $\mathbb{N}$ en comparant les probabilités ponctuelles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X_n \sim \mathcal{B}(n, \lambda/n)$ avec $\lambda > 0$ et $n \geq \lambda$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)$ .

L'objectif

Démontrer la convergence en loi de suites de variables à valeurs dans $\mathbb{N}$ en comparant les probabilités ponctuelles.

Le principe

Résultat admis : si $(X_n)$ et $X$ sont à valeurs dans $\mathbb{N}$ , alors $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ si et seulement si $\forall k \in \mathbb{N}, P(X_n = k) \to P(X = k)$ ; cette caractérisation évite le passage par les fonctions de répartition.

La méthode

1
Je vérifie que les $X_n$ et $X$ sont bien à valeurs dans $\mathbb{N}$ et j'identifie la loi de $X$ ainsi que la famille des $P(X = k)$ .
2
Je fixe $k \in \mathbb{N}$ quelconque et j'écris explicitement $P(X_n = k)$ à partir de la loi de $X_n$ .
3
J'étudie la limite de $P(X_n = k)$ quand $n \to +\infty$ et je montre qu'elle vaut $P(X = k)$ .
4
Par la caractérisation, $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X_n \sim \mathcal{B}(n, \lambda/n)$ avec $\lambda > 0$ et $n \geq \lambda$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que les

X_n

X

sont bien à valeurs dans

\mathbb{N}

et j'identifie la loi de

X

ainsi que la famille des

P(X = k)

Les $X_n$ et la limite $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ sont à valeurs dans $\mathbb{N}$ ; $P(X = k) = e^{-\lambda} \lambda^k / k!$ pour $k \in \mathbb{N}$ .

Étape 2 —

Je fixe

k \in \mathbb{N}

quelconque et j'écris explicitement

P(X_n = k)

à partir de la loi de

X_n

Pour $k \in \mathbb{N}$ fixé et $n \geq k$ , $P(X_n = k) = \binom{n}{k}(\lambda/n)^k (1 - \lambda/n)^{n-k}$ .

Étape 3 —

J'étudie la limite de

P(X_n = k)

quand

n \to +\infty

et je montre qu'elle vaut

P(X = k)

$\binom{n}{k}/n^k \to 1/k!$ , $(1 - \lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$ et $(1 - \lambda/n)^{-k} \to 1$ , d'où $P(X_n = k) \to e^{-\lambda} \lambda^k / k!$ .

Étape 4 —

Par la caractérisation,

X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X

Par la caractérisation, $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)$ .

$X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)$ (approximation Binomiale-Poisson).

Application guidée

Soit $X_n \sim \mathcal{P}(\lambda_n)$ avec $\lambda_n \to \lambda > 0$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)$ .

Application autonome 1

Soit $X_n \sim \mathcal{G}(p_n)$ avec $p_n \to p \in ]0,1[$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{G}(p)$ .

Application autonome 2

Soit $X_n$ de loi uniforme sur $\{1, 2, \dots, n\}$ et $Y_n = \min(X_n, 3)$ . Montrer que $Y_n \xrightarrow{\mathcal{L}} Y$ où $Y$ prend la valeur $3$ presque sûrement ne convient pas ; déterminer la loi limite de $Y_n$ sur $\{1, 2, 3\}$ .

Application autonome 3

Soit $X_n \sim \mathcal{B}(n_n, p_n)$ avec $n_n \to +\infty$ et $n_n p_n \to \lambda > 0$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ où $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant la caractérisation du cours : Xn,X∈N⇒Xn→LXX_n, X \in \mathbb{N} \Rightarrow X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} XXn​,X∈N⇒Xn​L​X ssi ∀k,P(Xn=k)→P(X=k)\forall k, P(X_n=k) \to P(X=k)∀k,P(Xn​=k)→P(X=k)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la caractérisation du cours : $X_n, X \in \mathbb{N} \Rightarrow X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ ssi $\forall k, P(X_n=k) \to P(X=k)$