Comment appliquer l'inégalité de Markov pour majorer $P(|X| \geq a)$ ?

En vérifiant que $E(|X|)$ existe puis en écrivant $P(|X| \geq a) \leq E(|X|)/a$

Majorer $P(|X| \geq a)$ pour une variable aléatoire $X$ admettant une espérance et un réel $a > 0$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \sim \mathcal{E}(2)$ . Majorer $P(X \geq 3)$ à l'aide de l'inégalité de Markov.

L'objectif

Majorer $P(|X| \geq a)$ pour une variable aléatoire $X$ admettant une espérance et un réel $a > 0$ .

Le principe

Inégalité de Markov : si $X$ est une variable aléatoire telle que $E(|X|)$ existe, alors pour tout $a > 0$ , $P(|X| \geq a) \leq \dfrac{E(|X|)}{a}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $E(|X|)$ existe et je fixe $a > 0$ .
2
J'applique l'inégalité de Markov à $|X|$ : $P(|X| \geq a) \leq \dfrac{E(|X|)}{a}$ .
3
Je calcule ou je majore explicitement $E(|X|)$ , puis je substitue dans la borne pour obtenir la majoration finale.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{E}(2)$ . Majorer $P(X \geq 3)$ à l'aide de l'inégalité de Markov.

Étape 1 —

Je vérifie que

E(|X|)

existe et je fixe

a > 0

.

$X$ suit une loi exponentielle de paramètre $2$ , donc $E(X) = 1/2$ existe et $X \geq 0$ ; je fixe $a = 3$ .

Étape 2 —

J'applique l'inégalité de Markov à

|X|

:

P(|X| \geq a) \leq \dfrac{E(|X|)}{a}

.

J'applique Markov à $X = |X|$ : $P(X \geq 3) \leq \dfrac{E(X)}{3}$ .

Étape 3 —

Je calcule ou je majore explicitement

E(|X|)

, puis je substitue dans la borne pour obtenir la majoration finale.

Comme $E(X) = 1/2$ , j'obtiens $P(X \geq 3) \leq \dfrac{1/2}{3} = \dfrac{1}{6}$ .

$P(X \geq 3) \leq \dfrac{1}{6}$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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En vérifiant que $E(|X|)$ existe puis en écrivant $P(|X| \geq a) \leq E(|X|)/a$