En se ramenant à $Y = g(X)$ avec $g$ croissante positive : $P(|X| \geq a) \leq E(g(|X|))/g(a)$

Obtenir une majoration plus fine de $P(|X| \geq a)$ en exploitant un moment d'ordre supérieur via une fonction croissante positive.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $E(X^2) = 4$ . Majorer $P(|X| \geq 5)$ en utilisant $g(t) = t^2$ .

L'objectif

Obtenir une majoration plus fine de $P(|X| \geq a)$ en exploitant un moment d'ordre supérieur via une fonction croissante positive.

Le principe

Si $g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ est croissante et si $E(g(|X|))$ existe, alors $\{|X| \geq a\} \subset \{g(|X|) \geq g(a)\}$ et Markov donne $P(|X| \geq a) \leq \dfrac{E(g(|X|))}{g(a)}$ pour $g(a) > 0$ .

La méthode

1
Je choisis une fonction $g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ croissante (typiquement $g(t) = t^2$ ) et je vérifie que $E(g(|X|))$ existe.
2
Je remarque que $\{|X| \geq a\} \subset \{g(|X|) \geq g(a)\}$ par croissance de $g$ , puis j'applique Markov à $g(|X|)$ .
3
J'écris $P(|X| \geq a) \leq \dfrac{E(g(|X|))}{g(a)}$ et je calcule explicitement $E(g(|X|))$ pour conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $E(X^2) = 4$ . Majorer $P(|X| \geq 5)$ en utilisant $g(t) = t^2$ .

Étape 1 —

Je choisis une fonction

g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+

croissante (typiquement

g(t) = t^2

) et je vérifie que

E(g(|X|))

existe.

Je choisis $g(t) = t^2$ , croissante sur $\mathbb{R}_+$ ; $E(g(|X|)) = E(X^2) = 4$ existe.

Étape 2 —

Je remarque que

\{|X| \geq a\} \subset \{g(|X|) \geq g(a)\}

par croissance de

g

, puis j'applique Markov à

g(|X|)

L'inclusion $\{|X| \geq 5\} \subset \{X^2 \geq 25\}$ et Markov donnent $P(|X| \geq 5) \leq \dfrac{E(X^2)}{5^2}$ .

Étape 3 —

J'écris

P(|X| \geq a) \leq \dfrac{E(g(|X|))}{g(a)}

et je calcule explicitement

E(g(|X|))

pour conclure.

Je substitue : $P(|X| \geq 5) \leq \dfrac{4}{25}$ .

$P(|X| \geq 5) \leq \dfrac{4}{25}$ .

Application guidée

Soit $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Comparer la majoration de Markov sur $|X|$ et celle obtenue avec $g(t) = t^2$ pour $P(|X| \geq 3)$ .

Application autonome 1

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $E(X^4) = 20$ . Majorer $P(|X| \geq 3)$ avec $g(t) = t^4$ .

Application autonome 2

Soit $X$ une variable aléatoire vérifiant $E(X^2) = 9$ . Majorer $P(|X| \geq 10)$ à l'aide de $g(t) = t^2$ .

Application autonome 3

Soit $X$ une variable aléatoire admettant un moment d'ordre $6$ avec $E(X^6) = 50$ . Majorer $P(|X| \geq 2)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En se ramenant à Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X) avec ggg croissante positive : P(∣X∣≥a)≤E(g(∣X∣))/g(a)P(|X| \geq a) \leq E(g(|X|))/g(a)P(∣X∣≥a)≤E(g(∣X∣))/g(a)

Pour comprendre, fais des exercices !

En se ramenant à $Y = g(X)$ avec $g$ croissante positive : $P(|X| \geq a) \leq E(g(|X|))/g(a)$