Comment appliquer l'inégalité de Markov pour majorer $P(|X| \geq a)$ ?

En se ramenant à $Y = g(X)$ avec $g$ croissante positive : $P(|X| \geq a) \leq E(g(|X|))/g(a)$

L'objectif

Obtenir une majoration plus fine de $P(|X| \geq a)$ en exploitant un moment d'ordre supérieur via une fonction croissante positive.

Le principe

Si $g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ est croissante et si $E(g(|X|))$ existe, alors $\{|X| \geq a\} \subset \{g(|X|) \geq g(a)\}$ et Markov donne $P(|X| \geq a) \leq \dfrac{E(g(|X|))}{g(a)}$ pour $g(a) > 0$ .

La méthode

1
Je choisis une fonction $g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ croissante (typiquement $g(t) = t^2$ ) et je vérifie que $E(g(|X|))$ existe.
2
Je remarque que $\{|X| \geq a\} \subset \{g(|X|) \geq g(a)\}$ par croissance de $g$ , puis j'applique Markov à $g(|X|)$ .
3
J'écris $P(|X| \geq a) \leq \dfrac{E(g(|X|))}{g(a)}$ et je calcule explicitement $E(g(|X|))$ pour conclure.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En se ramenant à Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X) avec ggg croissante positive : P(∣X∣≥a)≤E(g(∣X∣))/g(a)P(|X| \geq a) \leq E(g(|X|))/g(a)P(∣X∣≥a)≤E(g(∣X∣))/g(a)

Exemple corrigé

En se ramenant à $Y = g(X)$ avec $g$ croissante positive : $P(|X| \geq a) \leq E(g(|X|))/g(a)$