Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en probabilité vers $X$ ?

En revenant à la définition : $\forall \varepsilon > 0, P(|X_n - X| \geq \varepsilon) \to 0$

Établir $X_n \xrightarrow{P} X$ en vérifiant la définition pour chaque $\varepsilon > 0$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_n)$ telle que $X_n$ suit une loi uniforme $\mathcal{U}(\{0, 1/n\})$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{P} 0$ .

L'objectif

Établir $X_n \xrightarrow{P} X$ en vérifiant la définition pour chaque $\varepsilon > 0$ .

Le principe

Par définition, $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge en probabilité vers $X$ si et seulement si $\forall \varepsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P(|X_n - X| \geq \varepsilon) = 0$ .

La méthode

1
Je fixe $\varepsilon > 0$ quelconque et j'écris l'événement $\{|X_n - X| \geq \varepsilon\}$ à étudier.
2
Je calcule ou je majore $P(|X_n - X| \geq \varepsilon)$ par une suite explicite $(u_n)$ (souvent via la loi de $X_n$ ou une inclusion d'événements).
3
Je montre que $u_n \to 0$ quand $n \to +\infty$ et je conclus par définition $X_n \xrightarrow{P} X$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $(X_n)$ telle que $X_n$ suit une loi uniforme $\mathcal{U}(\{0, 1/n\})$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{P} 0$ .

Étape 1 —

Je fixe

\varepsilon > 0

quelconque et j'écris l'événement

\{|X_n - X| \geq \varepsilon\}

à étudier.

Je fixe $\varepsilon > 0$ quelconque et j'étudie $P(|X_n - 0| \geq \varepsilon) = P(X_n \geq \varepsilon)$ .

Étape 2 —

Je calcule ou je majore

P(|X_n - X| \geq \varepsilon)

par une suite explicite

(u_n)

(souvent via la loi de

X_n

ou une inclusion d'événements).

Pour $n$ tel que $1/n < \varepsilon$ , on a $X_n \in \{0, 1/n\}$ donc $X_n < \varepsilon$ presque sûrement : $P(X_n \geq \varepsilon) = 0$ .

Étape 3 —

Je montre que

u_n \to 0

quand

n \to +\infty

et je conclus par définition

X_n \xrightarrow{P} X

.

Ainsi $u_n = P(|X_n| \geq \varepsilon) = 0$ à partir d'un certain rang et $u_n \to 0$ , donc $X_n \xrightarrow{P} 0$ .

$X_n \xrightarrow{P} 0$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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