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Comment montrer qu'une suite (Xn)(X_n) converge en probabilité vers XX ?

En majorant par Bienaymé-Tchebychev : si E(Xn)→ℓE(X_n) \to \ell et V(Xn)→0V(X_n) \to 0, alors Xn→PℓX_n \xrightarrow{P} \ell

L'objectif

Démontrer qu'une suite (Xn)(X_n) converge en probabilité vers un réel ℓ\ell via l'étude des moments d'ordre 11 et 22.

Le principe

Si E(Xn)→ℓE(X_n) \to \ell et V(Xn)→0V(X_n) \to 0, alors par Bienaymé-Tchebychev P(∣Xn−ℓ∣≥ε)≤V(Xn)(ε−∣E(Xn)−ℓ∣)2P(|X_n - \ell| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X_n)}{(\varepsilon - |E(X_n) - \ell|)^2} pour nn assez grand, ce qui donne Xn→PℓX_n \xrightarrow{P} \ell.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que XnX_n admet une espérance et une variance, puis je calcule E(Xn)E(X_n) et V(Xn)V(X_n) et j'établis E(Xn)→ℓE(X_n) \to \ell et V(Xn)→0V(X_n) \to 0.
  2. 2
    Je fixe ε>0\varepsilon > 0 et j'écris ∣Xn−ℓ∣≤∣Xn−E(Xn)∣+∣E(Xn)−ℓ∣|X_n - \ell| \leq |X_n - E(X_n)| + |E(X_n) - \ell| pour se ramener à l'écart à E(Xn)E(X_n).
  3. 3
    Pour nn assez grand tel que ∣E(Xn)−ℓ∣<ε/2|E(X_n) - \ell| < \varepsilon/2, j'applique Bienaymé-Tchebychev à XnX_n : P(∣Xn−ℓ∣≥ε)≤P(∣Xn−E(Xn)∣≥ε/2)≤4V(Xn)ε2→0P(|X_n - \ell| \geq \varepsilon) \leq P(|X_n - E(X_n)| \geq \varepsilon/2) \leq \dfrac{4 V(X_n)}{\varepsilon^2} \to 0.
    Voir
  4. 4
    Je conclus par définition : Xn→PℓX_n \xrightarrow{P} \ell.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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