Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en probabilité vers $X$ ? | MetMat

Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en probabilité vers $X$ ?

En majorant par Bienaymé-Tchebychev : si $E(X_n) \to \ell$ et $V(X_n) \to 0$ , alors $X_n \xrightarrow{P} \ell$

Démontrer qu'une suite $(X_n)$ converge en probabilité vers un réel $\ell$ via l'étude des moments d'ordre $1$ et $2$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X_n$ la moyenne empirique de $n$ variables i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ . Montrer $X_n \xrightarrow{P} p$ .

L'objectif

Démontrer qu'une suite $(X_n)$ converge en probabilité vers un réel $\ell$ via l'étude des moments d'ordre $1$ et $2$ .

Le principe

Si $E(X_n) \to \ell$ et $V(X_n) \to 0$ , alors pour $n$ assez grand, Bienaymé-Tchebychev donne $P(|X_n - \ell| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{4 V(X_n)}{\varepsilon^2} \to 0$ , d'où $X_n \xrightarrow{P} \ell$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X_n$ admet une espérance et une variance, puis je calcule $E(X_n)$ et $V(X_n)$ et j'établis $E(X_n) \to \ell$ et $V(X_n) \to 0$ .
2
Je fixe $\varepsilon > 0$ et j'écris $|X_n - \ell| \leq |X_n - E(X_n)| + |E(X_n) - \ell|$ pour se ramener à l'écart à $E(X_n)$ .
3
Pour $n$ assez grand tel que $|E(X_n) - \ell| < \varepsilon/2$ , j'applique Bienaymé-Tchebychev à $X_n$ : $P(|X_n - \ell| \geq \varepsilon) \leq P(|X_n - E(X_n)| \geq \varepsilon/2) \leq \dfrac{4 V(X_n)}{\varepsilon^2} \to 0$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
4
Je conclus par définition : $X_n \xrightarrow{P} \ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X_n$ la moyenne empirique de $n$ variables i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ . Montrer $X_n \xrightarrow{P} p$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

X_n

admet une espérance et une variance, puis je calcule

E(X_n)

V(X_n)

et j'établis

E(X_n) \to \ell

V(X_n) \to 0

$X_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i$ avec $Y_i \sim \mathcal{B}(p)$ i.i.d. ; $E(X_n) = p$ (constant) et $V(X_n) = \dfrac{p(1-p)}{n} \to 0$ .

Étape 2 —

Je fixe

\varepsilon > 0

et j'écris

|X_n - \ell| \leq |X_n - E(X_n)| + |E(X_n) - \ell|

pour se ramener à l'écart à

E(X_n)

Je fixe $\varepsilon > 0$ : comme $E(X_n) = p$ , j'ai directement $|X_n - p| = |X_n - E(X_n)|$ .

Étape 3 —

Pour

n

assez grand tel que

|E(X_n) - \ell| < \varepsilon/2

, j'applique Bienaymé-Tchebychev à

X_n

P(|X_n - \ell| \geq \varepsilon) \leq P(|X_n - E(X_n)| \geq \varepsilon/2) \leq \dfrac{4 V(X_n)}{\varepsilon^2} \to 0

Bienaymé-Tchebychev donne $P(|X_n - p| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \to 0$ .

Étape 4 —

Je conclus par définition :

X_n \xrightarrow{P} \ell

Donc $X_n \xrightarrow{P} p$ .

$X_n \xrightarrow{P} p$ .

Application guidée

Soit $X_n$ une variable aléatoire telle que $E(X_n) = 2 + 1/n$ et $V(X_n) = 1/n$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{P} 2$ .

Application autonome 1

Soit $X_n \sim \mathcal{N}(0, 1/n)$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{P} 0$ .

Application autonome 2

Soit $X_n$ une variable aléatoire telle que $E(X_n) = 5 - \dfrac{2}{\sqrt{n}}$ et $V(X_n) = \dfrac{3}{n^2}$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{P} 5$ .

Application autonome 3

Soit $X_n \sim \mathcal{B}(n, 1/n)$ pour $n \geq 1$ . Montrer que $\dfrac{X_n}{n} \xrightarrow{P} 0$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En majorant par Bienaymé-Tchebychev : si E(Xn)→ℓE(X_n) \to \ellE(Xn​)→ℓ et V(Xn)→0V(X_n) \to 0V(Xn​)→0, alors Xn→PℓX_n \xrightarrow{P} \ellXn​P​ℓ

Pour comprendre, fais des exercices !

En majorant par Bienaymé-Tchebychev : si $E(X_n) \to \ell$ et $V(X_n) \to 0$ , alors $X_n \xrightarrow{P} \ell$