L'objectif

Démontrer qu'une suite $(X_n)$ converge en probabilité vers un réel $\ell$ via l'étude des moments d'ordre $1$ et $2$ .

Le principe

Si $E(X_n) \to \ell$ et $V(X_n) \to 0$ , alors pour $n$ assez grand, Bienaymé-Tchebychev donne $P(|X_n - \ell| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{4 V(X_n)}{\varepsilon^2} \to 0$ , d'où $X_n \xrightarrow{P} \ell$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X_n$ admet une espérance et une variance, puis je calcule $E(X_n)$ et $V(X_n)$ et j'établis $E(X_n) \to \ell$ et $V(X_n) \to 0$ .
2
Je fixe $\varepsilon > 0$ et j'écris $|X_n - \ell| \leq |X_n - E(X_n)| + |E(X_n) - \ell|$ pour se ramener à l'écart à $E(X_n)$ .
3
Pour $n$ assez grand tel que $|E(X_n) - \ell| < \varepsilon/2$ , j'applique Bienaymé-Tchebychev à $X_n$ : $P(|X_n - \ell| \geq \varepsilon) \leq P(|X_n - E(X_n)| \geq \varepsilon/2) \leq \dfrac{4 V(X_n)}{\varepsilon^2} \to 0$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
4
Je conclus par définition : $X_n \xrightarrow{P} \ell$ .

Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en probabilité vers $X$ ?

En majorant par Bienaymé-Tchebychev : si $E(X_n) \to \ell$ et $V(X_n) \to 0$ , alors $X_n \xrightarrow{P} \ell$

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment montrer qu'une suite (Xn)(X_n)(Xn​) converge en probabilité vers XXX ?

En majorant par Bienaymé-Tchebychev : si E(Xn)→ℓE(X_n) \to \ellE(Xn​)→ℓ et V(Xn)→0V(X_n) \to 0V(Xn​)→0, alors Xn→PℓX_n \xrightarrow{P} \ellXn​P​ℓ

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en probabilité vers $X$ ?

En majorant par Bienaymé-Tchebychev : si $E(X_n) \to \ell$ et $V(X_n) \to 0$ , alors $X_n \xrightarrow{P} \ell$