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Comment montrer qu'une suite (Xn)(X_n) converge en probabilité vers XX ?

En revenant à la définition : ∀ε>0,P(∣Xn−X∣≥ε)→0\forall \varepsilon > 0, P(|X_n - X| \geq \varepsilon) \to 0

L'objectif

Établir Xn→PXX_n \xrightarrow{P} X en vérifiant la définition pour chaque ε>0\varepsilon > 0.

Le principe

Par définition, (Xn)n∈N(X_n)_{n \in \mathbb{N}} converge en probabilité vers XX si et seulement si ∀ε>0,lim⁡n→+∞P(∣Xn−X∣≥ε)=0\forall \varepsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P(|X_n - X| \geq \varepsilon) = 0.

La méthode
  1. 1
    Je fixe ε>0\varepsilon > 0 quelconque et j'écris l'événement {∣Xn−X∣≥ε}\{|X_n - X| \geq \varepsilon\} à étudier.
  2. 2
    Je calcule ou je majore P(∣Xn−X∣≥ε)P(|X_n - X| \geq \varepsilon) par une suite explicite (un)(u_n) (souvent via la loi de XnX_n ou une inclusion d'événements).
  3. 3
    Je montre que un→0u_n \to 0 quand n→+∞n \to +\infty et je conclus par définition Xn→PXX_n \xrightarrow{P} X.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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