Comment calculer l'espérance d'un produit $E(XY)$ lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes ?

En appliquant $E(XY)=E(X)E(Y)$ dès que $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent une espérance

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X\hookrightarrow \mathcal{E}(2)$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{N}(3,4)$ indépendantes. Calculer $E(XY)$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes et admettent chacune une espérance finie.
2
Je calcule séparément $E(X)$ et $E(Y)$ à partir des lois (ou des paramètres) de $X$ et $Y$ .
3
J'applique la formule $E(XY)=E(X)E(Y)$ et je conclus par la valeur obtenue.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soient $X\hookrightarrow \mathcal{E}(2)$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{N}(3,4)$ indépendantes. Calculer $E(XY)$ .

1

$X$ et $Y$ sont indépendantes par hypothèse ; $X$ suit une loi exponentielle et $Y$ une loi normale, toutes deux admettent une espérance.

2

J'ai $E(X)=\dfrac{1}{2}$ (exponentielle de paramètre $2$ ) et $E(Y)=3$ (paramètre de la loi normale).

3

Donc $E(XY)=E(X)E(Y)=\dfrac{1}{2}\times 3=\dfrac{3}{2}$ .

$E(XY)=\dfrac{3}{2}$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment calculer l'espérance d'un produit $E(XY)$ lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes ?

En appliquant $E(XY)=E(X)E(Y)$ dès que $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent une espérance