Comment montrer qu'une fonction… : En écrivant f comme somme, produit… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une fonction de $n$ variables est continue sur $\mathbb{R}^n$ ?

En écrivant $f$ comme somme, produit, quotient ou composée de fonctions continues de référence

Obtenir la continuité d'une fonction de $n$ variables sans revenir à la définition $\varepsilon$ - $\delta$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ , $f(x,y) = 3x^2y - xy^3 + 2x - 7$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Obtenir la continuité d'une fonction de $n$ variables sans revenir à la définition $\varepsilon$ - $\delta$ .

Le principe

Théorèmes admis au BO : les fonctions polynomiales de $n$ variables sont continues sur $\mathbb{R}^n$ ; la somme, le produit, le quotient (hors zéro du dénominateur) et la composition d'une fonction continue $\mathbb{R}^n \to I$ par une fonction continue $I \to \mathbb{R}$ restent continus.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est définie sur $\mathbb{R}^n$ tout entier (ou je précise le domaine d'étude).
2
Je décompose $f$ en combinaisons de fonctions continues admises : polynômes de $n$ variables, projections, $\exp$ , $\ln$ , $\sqrt{\cdot}$ , etc., en vérifiant les conditions associées (dénominateur non nul, argument dans le domaine de définition).
3
Je conclus par application des théorèmes d'opérations sur les fonctions continues : $f$ est continue sur $\mathbb{R}^n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ , $f(x,y) = 3x^2y - xy^3 + 2x - 7$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est définie sur

\mathbb{R}^n

tout entier (ou je précise le domaine d'étude).

$f$ est définie sur $\mathbb{R}^2$ tout entier, sans restriction.

Étape 2 —

Je décompose

f

en combinaisons de fonctions continues admises : polynômes de

n

variables, projections,

\exp

\ln

\sqrt{\cdot}

, etc., en vérifiant les conditions associées (dénominateur non nul, argument dans le domaine de définition).

$f(x,y)$ est un polynôme des deux variables $x$ et $y$ .

Étape 3 —

Je conclus par application des théorèmes d'opérations sur les fonctions continues :

f

est continue sur

\mathbb{R}^n

Les fonctions polynomiales de deux variables sont continues sur $\mathbb{R}^2$ (admis au BO), donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

$f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ comme polynôme.

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En écrivant fff comme somme, produit, quotient ou composée de fonctions continues de référence

Pour comprendre, fais des exercices !

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