Comment comparer un échantillon simulé avec la loi théorique via histogramme, diagramme en bâtons ou fonction de répartition empirique ? | MetMat

Comment comparer un échantillon simulé avec la loi théorique via histogramme, diagramme en bâtons ou fonction de répartition empirique ?

En traçant un histogramme normalisé de l'échantillon et en superposant la densité théorique

L'objectif

Comparer visuellement la densité empirique d'un échantillon continu avec la densité théorique de la loi.

Le principe

Si $(X_1,\dots,X_N)$ est un échantillon i.i.d. de densité $f$ , l'histogramme normalisé par l'option density=True converge (pour $N$ grand et des classes pas trop fines) vers $f$ : la superposition des deux courbes permet de valider la simulation.

La méthode

1
Je simule un échantillon de grande taille $N$ (typiquement $N=10^4$ ou $10^5$ ) de la loi voulue, par exemple avec X = rd.exponential(scale=1/lam, size=N) ou une méthode d'inversion.
2
Je trace l'histogramme normalisé avec plt.hist(X, bins=50, density=True, alpha=0.6, label='empirique') pour que l'aire totale vaille $1$ .
3
Je construis une grille fine $t$ avec t = np.linspace(a, b, 500) couvrant le support de la loi et j'évalue la densité théorique $f(t)$ .
4
Je superpose la courbe théorique via plt.plot(t, f(t), 'r', label='théorique') puis j'ajoute titre, légende et plt.show() pour commenter l'adéquation visuelle.

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Application guidée 1

Simuler un échantillon de taille $N=10^4$ d'une loi exponentielle $\mathcal{E}(2)$ et comparer son histogramme à la densité théorique $f(x)=2\mathrm{e}^{-2x}\mathbf{1}_{x\geq 0}$ .

Application guidée 2

Simuler $N=10^5$ réalisations d'une loi normale $\mathcal{N}(0,1)$ et comparer à la densité gaussienne.

Application autonome 1

Tester une simulation par méthode d'inversion de $\mathcal{U}[0,1]$ en comparant l'histogramme à la densité constante $f=1$ sur $[0,1]$ .

Application autonome 2

Simuler $N = 10^5$ réalisations d'une loi uniforme $\mathcal{U}([-1, 1])$ et comparer l'histogramme à la densité constante $1/2$ .

Application autonome 3

Simuler $N = 10^5$ réalisations d'une loi normale $\mathcal{N}(2, 9)$ et comparer l'histogramme normalisé à la densité théorique $f(t) = \frac{1}{3\sqrt{2\pi}} e^{-(t-2)^2/18}$ .

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