Comment comparer un échantillon simulé avec la loi théorique via histogramme, diagramme en bâtons ou fonction de répartition empirique ? | MetMat

Comment comparer un échantillon simulé avec la loi théorique via histogramme, diagramme en bâtons ou fonction de répartition empirique ?

En traçant un diagramme en bâtons des fréquences observées superposé aux probabilités théoriques

L'objectif

Comparer graphiquement la distribution empirique d'une variable aléatoire discrète avec sa loi théorique.

Le principe

Par la loi forte des grands nombres appliquée à $\mathbf{1}_{\{X_i=k\}}$ , la fréquence $\hat{p}_k=\frac{1}{N}\sum_i \mathbf{1}_{\{X_i=k\}}$ converge vers $P(X=k)$ : le diagramme en bâtons empirique doit coller au diagramme théorique pour $N$ grand.

La méthode

1
Je simule un échantillon discret de taille $N$ , par exemple X = rd.binomial(n, p, size=N) ou rd.poisson(lam, size=N).
2
Je choisis l'ensemble des valeurs à afficher $k\in\{k_{\min},\dots,k_{\max}\}$ et je calcule les fréquences empiriques via freq = np.array([np.mean(X == k) for k in K]).
3
Je calcule les probabilités théoriques $p_k=P(X=k)$ via la formule de la loi (par exemple $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour $\mathcal{B}(n,p)$ ) sur le même ensemble $K$ .
4
Je trace côte à côte deux séries de bâtons avec plt.bar(K-0.2, freq, width=0.4, label='empirique') et plt.bar(K+0.2, p, width=0.4, label='théorique'), puis légende et affichage.

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Application guidée 1

Simuler $N=10^4$ tirages de $\mathcal{B}(10, 0.3)$ et comparer les fréquences aux $P(X=k) = \binom{10}{k}(0.3)^k(0.7)^{10-k}$ .

Application guidée 2

Comparer un échantillon de taille $N=10^4$ d'une loi de Poisson $\mathcal{P}(3)$ avec ses probabilités théoriques.

Application autonome 1

Simuler $N=10^4$ lancers d'un dé équilibré et comparer les fréquences aux $1/6$ théoriques.

Application autonome 2

Simuler $N = 1000$ réalisations d'une loi $\mathcal{B}(10, 0{,}3)$ et superposer le diagramme en bâtons des fréquences observées à celui des probabilités théoriques.

Application autonome 3

Simuler $N = 2000$ réalisations d'une loi géométrique $\mathcal{G}(1/4)$ (valeurs dans $\mathbb{N}^*$ ) et comparer le diagramme en bâtons des fréquences aux probabilités théoriques $P(X=k) = (3/4)^{k-1}(1/4)$ .

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