Comment comparer un échantillon… : En traçant un diagramme en bâtons des… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment comparer un échantillon simulé avec la loi théorique via histogramme, diagramme en bâtons ou fonction de répartition empirique ?

En traçant un diagramme en bâtons des fréquences observées superposé aux probabilités théoriques

Comparer graphiquement la distribution empirique d'une variable aléatoire discrète avec sa loi théorique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Simuler $N=10^4$ tirages de $\mathcal{B}(10, 0.3)$ et comparer les fréquences aux $P(X=k) = \binom{10}{k}(0.3)^k(0.7)^{10-k}$ .

L'objectif

Comparer graphiquement la distribution empirique d'une variable aléatoire discrète avec sa loi théorique.

Le principe

Par la loi forte des grands nombres appliquée à $\mathbf{1}_{\{X_i=k\}}$ , la fréquence $\hat{p}_k=\frac{1}{N}\sum_i \mathbf{1}_{\{X_i=k\}}$ converge vers $P(X=k)$ : le diagramme en bâtons empirique doit coller au diagramme théorique pour $N$ grand.

La méthode

1
Je simule un échantillon discret de taille $N$ , par exemple X = rd.binomial(n, p, size=N) ou rd.poisson(lam, size=N).
2
Je choisis l'ensemble des valeurs à afficher $k\in\{k_{\min},\dots,k_{\max}\}$ et je calcule les fréquences empiriques via freq = np.array([np.mean(X == k) for k in K]).
3
Je calcule les probabilités théoriques $p_k=P(X=k)$ via la formule de la loi (par exemple $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour $\mathcal{B}(n,p)$ ) sur le même ensemble $K$ .
4
Je trace côte à côte deux séries de bâtons avec plt.bar(K-0.2, freq, width=0.4, label='empirique') et plt.bar(K+0.2, p, width=0.4, label='théorique'), puis légende et affichage.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Simuler $N=10^4$ tirages de $\mathcal{B}(10, 0.3)$ et comparer les fréquences aux $P(X=k) = \binom{10}{k}(0.3)^k(0.7)^{10-k}$ .

Étape 1 —

Je simule un échantillon discret de taille

N

, par exemple X = rd.binomial(n, p, size=N) ou rd.poisson(lam, size=N).

import numpy as np, numpy.random as rd, matplotlib.pyplot as plt
from math import comb
n, p, N = 10, 0.3, 10**4
X = rd.binomial(n, p, size=N)

Étape 2 —

Je choisis l'ensemble des valeurs à afficher

k\in\{k_{\min},\dots,k_{\max}\}

et je calcule les fréquences empiriques via freq = np.array([np.mean(X == k) for k in K]).

K = np.arange(0, n+1)
freq = np.array([np.mean(X == k) for k in K])

Étape 3 —

Je calcule les probabilités théoriques

p_k=P(X=k)

via la formule de la loi (par exemple

\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

pour

\mathcal{B}(n,p)

) sur le même ensemble

K

proba = np.array([comb(n,k) * p**k * (1-p)**(n-k) for k in K])

Étape 4 —

Je trace côte à côte deux séries de bâtons avec plt.bar(K-0.2, freq, width=0.4, label='empirique') et plt.bar(K+0.2, p, width=0.4, label='théorique'), puis légende et affichage.

plt.bar(K-0.2, freq, width=0.4, label='empirique')
plt.bar(K+0.2, proba, width=0.4, label='théorique')
plt.legend(); plt.show()

Les bâtons empiriques et théoriques se superposent, validant la simulation de $\mathcal{B}(10, 0.3)$ .

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