Comment exploiter la stabilité de la loi $\gamma$ et de la loi normale pour la somme de variables indépendantes ?

On a $X \sim \gamma(3)$ et $Y \sim \gamma(5)$, et l'énoncé indique l'indépendance.

Les hypothèses du théorème de stabilité de la loi $\gamma$ sont vérifiées : lois $\gamma$, indépendance, $\nu_1 = 3 > 0$ et $\nu_2 = 5 > 0$.

On en déduit $S = X + Y \sim \gamma(3 + 5) = \gamma(8)$, de densité $f_S(t) = \frac{t^7 e^{-t}}{7!}\,\mathbf{1}_{t>0}$.

Cohérence : $\mathbb{E}(S) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y) = 3 + 5 = 8$ et $V(S) = V(X) + V(Y) = 3 + 5 = 8$, ce qui correspond bien à $\gamma(8)$.