Comment appliquer le théorème de Schwarz pour obtenir la symétrie de la hessienne ? | MetMat

Comment appliquer le théorème de Schwarz pour obtenir la symétrie de la hessienne ?

En vérifiant que $f$ est $\mathcal{C}^2$ puis en appliquant $\partial^2_{ij} f = \partial^2_{ji} f$ (admis), d'où ${}^t \nabla^2 f = \nabla^2 f$

Justifier que la hessienne d'une fonction $\mathcal{C}^2$ est symétrique, pour ensuite pouvoir la diagonaliser dans une base orthonormée.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f(x,y) = x^2 y - y^3 + x$ . Vérifier que la hessienne est symétrique.

L'objectif

Justifier que la hessienne d'une fonction $\mathcal{C}^2$ est symétrique, pour ensuite pouvoir la diagonaliser dans une base orthonormée.

Le principe

Théorème de Schwarz (admis) : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ , alors pour tous $i,j$ et tout $x\in \Omega$ , $\partial^2_{ij} f(x) = \partial^2_{ji} f(x)$ , ce qui entraîne ${}^t \nabla^2 f(x) = \nabla^2 f(x)$ .

La méthode

1
Je vérifie l'hypothèse : $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur l'ouvert $\Omega$ (polynomiale, opérations, composition).
2
J'invoque le théorème de Schwarz admis : pour tous $i,j\in \{1,\dots,n\}$ et tout $x\in \Omega$ , $\partial^2_{ij} f(x) = \partial^2_{ji} f(x)$ .
3
J'en déduis que la matrice $\nabla^2 f(x)$ est symétrique : ${}^t \nabla^2 f(x) = \nabla^2 f(x)$ , donc diagonalisable en base orthonormée (via le cours sur les matrices symétriques réelles).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f(x,y) = x^2 y - y^3 + x$ . Vérifier que la hessienne est symétrique.

Étape 1 —

Je vérifie l'hypothèse :

f

est de classe

\mathcal{C}^2

sur l'ouvert

\Omega

(polynomiale, opérations, composition).

$f$ est polynomiale donc $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ : l'hypothèse du théorème de Schwarz est vérifiée.

Étape 2 —

J'invoque le théorème de Schwarz admis : pour tous

i,j\in \{1,\dots,n\}

et tout

x\in \Omega

\partial^2_{ij} f(x) = \partial^2_{ji} f(x)

Par Schwarz, $\partial^2_{12} f = \partial^2_{21} f$ . Calculons : $\partial_1 f = 2 x y + 1$ et $\partial_2 f = x^2 - 3 y^2$ , d'où $\partial^2_{12} f = 2x = \partial^2_{21} f$ .

Étape 3 —

J'en déduis que la matrice

\nabla^2 f(x)

est symétrique :

{}^t \nabla^2 f(x) = \nabla^2 f(x)

, donc diagonalisable en base orthonormée (via le cours sur les matrices symétriques réelles).

La matrice $\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} 2y & 2x \\ 2x & -6y \end{pmatrix}$ est bien symétrique.

$\nabla^2 f$ est symétrique : $\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} 2y & 2x \\ 2x & -6y \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Soit $f(x,y) = \ln(1 + x^2 + y^2)$ . Montrer que $\nabla^2 f$ est symétrique sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 1

Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^2$ . Justifier que ${}^t \nabla^2 f(x) = \nabla^2 f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^3$ .

Application autonome 2

Soit $f(x, y) = \mathrm{e}^{xy} + x^3 - y^2$ . Vérifier que $\nabla^2 f$ est symétrique.

Application autonome 3

Soit $f(x, y) = \sqrt{1 + x^2 + y^2}$ . Justifier que $\nabla^2 f$ est symétrique sur $\mathbb{R}^2$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant que fff est C2\mathcal{C}^2C2 puis en appliquant ∂ij2f=∂ji2f\partial^2_{ij} f = \partial^2_{ji} f∂ij2​f=∂ji2​f (admis), d'où t∇2f=∇2f{}^t \nabla^2 f = \nabla^2 ft∇2f=∇2f

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $f$ est $\mathcal{C}^2$ puis en appliquant $\partial^2_{ij} f = \partial^2_{ji} f$ (admis), d'où ${}^t \nabla^2 f = \nabla^2 f$