Comment appliquer le théorème de Schwarz pour obtenir la symétrie de la hessienne ?

En vérifiant que $f$ est $\mathcal{C}^2$ puis en appliquant $\partial^2_{ij} f = \partial^2_{ji} f$ (admis), d'où ${}^t \nabla^2 f = \nabla^2 f$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f(x,y) = x^2 y - y^3 + x$ . Vérifier que la hessienne est symétrique.

La méthode

1
Je vérifie l'hypothèse : $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur l'ouvert $\Omega$ (polynomiale, opérations, composition).
2
J'invoque le théorème de Schwarz admis : pour tous $i,j\in \{1,\dots,n\}$ et tout $x\in \Omega$ , $\partial^2_{ij} f(x) = \partial^2_{ji} f(x)$ .
3
J'en déduis que la matrice $\nabla^2 f(x)$ est symétrique : ${}^t \nabla^2 f(x) = \nabla^2 f(x)$ , donc diagonalisable en base orthonormée (via le cours sur les matrices symétriques réelles).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $f(x,y) = x^2 y - y^3 + x$ . Vérifier que la hessienne est symétrique.

1

$f$ est polynomiale donc $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ : l'hypothèse du théorème de Schwarz est vérifiée.

2

Par Schwarz, $\partial^2_{12} f = \partial^2_{21} f$ . Calculons : $\partial_1 f = 2 x y + 1$ et $\partial_2 f = x^2 - 3 y^2$ , d'où $\partial^2_{12} f = 2x = \partial^2_{21} f$ .

3

La matrice $\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} 2y & 2x \\ 2x & -6y \end{pmatrix}$ est bien symétrique.

$\nabla^2 f$ est symétrique : $\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} 2y & 2x \\ 2x & -6y \end{pmatrix}$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

En vérifiant que $f$ est $\mathcal{C}^2$ puis en appliquant $\partial^2_{ij} f = \partial^2_{ji} f$ (admis), d'où ${}^t \nabla^2 f = \nabla^2 f$