Comment prouver qu'une famille… : En écrivant sum_i alpha_i e_i = 0 puis… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment prouver qu'une famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre ?

En écrivant $\sum_i \alpha_i e_i = 0$ puis en prenant le produit scalaire avec chaque $e_j$

Montrer qu'une famille orthogonale $(e_1,\dots,e_p)$ de vecteurs non nuls est libre, résultat classique du cours.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, montrer que $(e_1,e_2,e_3) = ((1,1,0),(1,-1,0),(0,0,2))$ est libre en exploitant son orthogonalité.

L'objectif

Montrer qu'une famille orthogonale $(e_1,\dots,e_p)$ de vecteurs non nuls est libre, résultat classique du cours.

Le principe

Si $(e_1,\dots,e_p)$ est orthogonale et si aucun $e_i$ n'est nul, alors toute relation $\sum_i \alpha_i e_i = 0$ entraîne $\alpha_j = 0$ pour tout $j$ , en utilisant $\langle e_i,e_j\rangle = 0$ pour $i\neq j$ et $\langle e_j,e_j\rangle = \|e_j\|^2 > 0$ .

La méthode

1
Je suppose une combinaison linéaire nulle $\sum_{i=1}^p \alpha_i e_i = 0$ et je souhaite montrer $\alpha_j = 0$ pour tout $j$ .
2
Je prends le produit scalaire avec $e_j$ : $\left\langle \sum_i \alpha_i e_i, e_j\right\rangle = \sum_i \alpha_i \langle e_i,e_j\rangle = \alpha_j \|e_j\|^2$ par orthogonalité.
3
Comme $e_j\neq 0$ , on a $\|e_j\|^2 > 0$ , donc $\alpha_j \|e_j\|^2 = 0$ implique $\alpha_j = 0$ ; la famille est libre.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, montrer que $(e_1,e_2,e_3) = ((1,1,0),(1,-1,0),(0,0,2))$ est libre en exploitant son orthogonalité.

Étape 1 —

Je suppose une combinaison linéaire nulle

\sum_{i=1}^p \alpha_i e_i = 0

et je souhaite montrer

\alpha_j = 0

pour tout

j

Je suppose $\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3 = 0$ et je cherche à montrer $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$ .

Étape 2 —

Je prends le produit scalaire avec

e_j

\left\langle \sum_i \alpha_i e_i, e_j\right\rangle = \sum_i \alpha_i \langle e_i,e_j\rangle = \alpha_j \|e_j\|^2

par orthogonalité.

Je calcule $\langle e_i,e_j\rangle$ pour $i\neq j$ : ils valent tous $0$ (famille orthogonale), et $\|e_1\|^2=2,\|e_2\|^2=2,\|e_3\|^2=4$ . En prenant le produit scalaire avec $e_1$ , on obtient $\alpha_1\|e_1\|^2 = 2\alpha_1 = 0$ .

Étape 3 —

Comme

e_j\neq 0

, on a

\|e_j\|^2 > 0

, donc

\alpha_j \|e_j\|^2 = 0

implique

\alpha_j = 0

; la famille est libre.

De même, $\alpha_2\cdot 2 = 0$ et $\alpha_3\cdot 4 = 0$ , donc $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$ : la famille est libre.

La famille $(e_1,e_2,e_3)$ est libre.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment prouver qu'une famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre ?

En écrivant ∑iαiei=0\sum_i \alpha_i e_i = 0∑i​αi​ei​=0 puis en prenant le produit scalaire avec chaque eje_jej​

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant $\sum_i \alpha_i e_i = 0$ puis en prenant le produit scalaire avec chaque $e_j$