Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne empirique $\overline{X}_n$ et de la variance empirique ?

En utilisant la linéarité de l'espérance et l'indépendance pour obtenir $E(\overline{X}_n) = m$ et $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$

L'objectif

Établir que la moyenne empirique $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais de $m = E(X)$ de variance $\sigma^2/n$ .

Le principe

Pour un $n$ -échantillon $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de même loi que $X$ avec $E(X)=m$ et $V(X)=\sigma^2$ , la linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance sous indépendance donnent $E(\overline{X}_n)=m$ et $V(\overline{X}_n)=\sigma^2/n$ .

La méthode

1
Je pose $(X_1,\dots,X_n)$ un $n$ -échantillon i.i.d. de $X$ , d'espérance $m = E(X)$ et de variance $\sigma^2 = V(X)$ supposées finies.
2
Je calcule $E(\overline{X}_n) = E\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n}\cdot n\cdot m = m$ par linéarité.
3
Par indépendance des $X_i$ , $V\!\left(\sum X_i\right) = \sum V(X_i) = n\sigma^2$ , donc $V(\overline{X}_n) = \frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$ .
4
Je conclus : $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais de $m$ et sa variance $\sigma^2/n$ tend vers $0$ quand $n\to +\infty$ .
Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En utilisant la linéarité de l'espérance et l'indépendance pour obtenir E(X‾n)=mE(\overline{X}_n) = mE(Xn​)=m et V(X‾n)=σ2/nV(\overline{X}_n) = \sigma^2/nV(Xn​)=σ2/n

Exemple corrigé

En utilisant la linéarité de l'espérance et l'indépendance pour obtenir $E(\overline{X}_n) = m$ et $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$