Comment justifier l'approximation de la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ par la loi normale ?

En écrivant $\mathcal{B}(n,p)$ comme somme de $n$ Bernoulli i.i.d. et en appliquant le TLC

L'objectif

Justifier l'approximation $\mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{N}(np, np(1-p))$ pour $n$ grand à partir du TLC.

Le principe

Si $S_n \sim \mathcal{B}(n, p)$ , alors $S_n = \sum_{i=1}^n Y_i$ avec $Y_i \sim \mathcal{B}(p)$ i.i.d. d'espérance $p$ et de variance $p(1-p)$ ; le TLC donne $\dfrac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ , d'où $\mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{N}(np, np(1-p))$ pour $n$ grand (conditions pratiques : $n \geq 30$ , $np \geq 5$ , $n(1-p) \geq 5$ ).

La méthode

1
Je décompose $S_n \sim \mathcal{B}(n, p)$ en somme $S_n = \sum_{i=1}^n Y_i$ où $Y_i \sim \mathcal{B}(p)$ i.i.d., avec $E(Y_1) = p$ et $V(Y_1) = p(1-p) > 0$ .
2
J'applique le TLC : $\dfrac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ .
3
J'en déduis l'approximation $\mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{N}(np, np(1-p))$ pour $n$ grand, valable dès que $n \geq 30$ , $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$ .
4
Pour un calcul numérique, je standardise l'événement et je lis les valeurs dans la table de $\Phi$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En écrivant B(n,p)\mathcal{B}(n,p)B(n,p) comme somme de nnn Bernoulli i.i.d. et en appliquant le TLC

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En écrivant $\mathcal{B}(n,p)$ comme somme de $n$ Bernoulli i.i.d. et en appliquant le TLC