Comment mener une recherche complète d'extrema locaux et globaux d'une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ ? | MetMat

Comment mener une recherche complète d'extrema locaux et globaux d'une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ ?

En déterminant domaine, points critiques, nature locale via la hessienne, puis caractère global

Identifier tous les extrema locaux et globaux d'une fonction $\mathcal{C}^2$ en menant une analyse structurée en plusieurs étapes.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Rechercher les extrema de $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2 x y + x$ sur $\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Identifier tous les extrema locaux et globaux d'une fonction $\mathcal{C}^2$ en menant une analyse structurée en plusieurs étapes.

Le principe

Pour $f:\Omega\to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ : les extrema locaux à l'intérieur sont parmi les points critiques ; leur nature locale s'obtient via le spectre de $\nabla^2 f$ ; le caractère global provient soit de la convexité (ouvert convexe + spectre de signe constant), soit de la compacité (fonction continue sur un fermé borné), soit d'une inégalité directe.

La méthode

1
Je précise le domaine $\Omega$ , je vérifie que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ , puis je résous $\nabla f(x) = 0$ pour déterminer tous les points critiques.
Comment déterminer les points critiques d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ ?Voir
2
En chaque point critique $x_0$ , je calcule $\nabla^2 f(x_0)$ puis son spectre, et j'applique le critère spectral (min local, max local, point selle, ou cas limite).
Comment écrire le développement limité d'ordre 2 de $f$ en un point critique ?Voir
3
J'étudie le caractère global : soit $\Omega$ ouvert convexe et spectre uniformément positif (resp. négatif) pour un min (resp. max) global ; soit $f$ continue sur un fermé borné (existence garantie, comparaison des valeurs des candidats) ; soit inégalité directe (Cauchy-Schwarz, carré, convexité).
4
Je synthétise : j'énumère tous les extrema locaux trouvés, je précise ceux qui sont globaux, et je donne la valeur du min/max global s'il existe.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Rechercher les extrema de $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2 x y + x$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

Je précise le domaine

\Omega

, je vérifie que

f

est

\mathcal{C}^2

sur

\Omega

, puis je résous

\nabla f(x) = 0

pour déterminer tous les points critiques.

$\Omega = \mathbb{R}^2$ , $f$ polynomiale donc $\mathcal{C}^2$ . $\nabla f(x,y) = (2 x - 2 y + 1, 2 y - 2 x)$ ; la seconde équation donne $x = y$ , alors la première devient $1 = 0$ , impossible : pas de point critique.

Étape 2 —

En chaque point critique

x_0

, je calcule

\nabla^2 f(x_0)

puis son spectre, et j'applique le critère spectral (min local, max local, point selle, ou cas limite).

Aucun point critique, donc aucun candidat à un extremum local à étudier via la hessienne.

Étape 3 —

J'étudie le caractère global : soit

\Omega

ouvert convexe et spectre uniformément positif (resp. négatif) pour un min (resp. max) global ; soit

f

continue sur un fermé borné (existence garantie, comparaison des valeurs des candidats) ; soit inégalité directe (Cauchy-Schwarz, carré, convexité).

Pour le comportement global : $f(x,y) = (x-y)^2 + x$ ; avec $y = x$ , $f(x,x) = x\to -\infty$ quand $x\to -\infty$ , donc $f$ n'a pas de minimum global. De même $f(x, 0) = x^2 + x \to +\infty$ : pas de maximum global non plus.

Étape 4 —

Je synthétise : j'énumère tous les extrema locaux trouvés, je précise ceux qui sont globaux, et je donne la valeur du min/max global s'il existe.

Conclusion : $f$ n'admet ni extremum local ni extremum global sur $\mathbb{R}^2$ .

$f$ n'admet aucun extremum local ni global sur $\mathbb{R}^2$ .

Application guidée

Rechercher les extrema de $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3 x y$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 1

Rechercher les extrema de $f(x,y) = x^2 + y^2 - 4 x - 6 y + 13$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 2

Rechercher les extrema de $f(x,y) = x^2 + y^2 - x y$ sur $K = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\}$ .

Application autonome 3

Rechercher les extrema de $f(x, y) = x^4 + y^4 - 2 x^2 - 2 y^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

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