1

Je pose

\mathcal{P}(n)

:

f_{S_n}(t) = \frac{\lambda^n}{(n-1)!}\,t^{n-1}\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}

, et je vérifie l'initialisation

n = 1

:

S_1 = X_1 \sim \mathcal{E}(\lambda)

, soit

f_{S_1}(t) = \lambda\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}

, conforme à la formule.

2

Je suppose

\mathcal{P}(n)

vraie. Par le lemme des coalitions,

S_n = X_1 + \dots + X_n

est indépendante de

X_{n+1}

, donc

S_{n+1} = S_n + X_{n+1}

admet une densité par convolution.

3

Je calcule

f_{S_{n+1}}(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{S_n}(u)\,f_{X_{n+1}}(t - u)\,\mathrm{d}u

en restreignant le domaine à

\{0 < u < t\}

(non vide pour

t > 0

).

4

J'obtiens

f_{S_{n+1}}(t) = \int_0^t \frac{\lambda^n u^{n-1} e^{-\lambda u}}{(n-1)!}\,\cdot\,\lambda e^{-\lambda(t-u)}\,\mathrm{d}u = \frac{\lambda^{n+1} e^{-\lambda t}}{(n-1)!} \int_0^t u^{n-1}\,\mathrm{d}u = \frac{\lambda^{n+1}}{n!}\,t^n\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}

, soit

\mathcal{P}(n+1)

; je conclus par récurrence.

Comment étudier la loi de la somme de $n$ variables indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ ?

En démontrant par récurrence sur $n$ via le produit de convolution