Comment étudier la loi de la somme de $n$ variables indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ ? | MetMat

Comment étudier la loi de la somme de $n$ variables indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ ?

En démontrant par récurrence sur $n$ via le produit de convolution

Obtenir par récurrence la densité explicite de $S_n$ pour $X_i \sim \mathcal{E}(\lambda)$ i.i.d., sans invoquer directement la stabilité de $\gamma$ .

L'objectif

Obtenir par récurrence la densité explicite de $S_n$ pour $X_i \sim \mathcal{E}(\lambda)$ i.i.d., sans invoquer directement la stabilité de $\gamma$ .

Le principe

On démontre par récurrence sur $n \geq 1$ que $f_{S_n}(t) = \frac{\lambda^n}{(n-1)!}\,t^{n-1}\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}$ , en utilisant à chaque pas que $S_{n+1} = S_n + X_{n+1}$ avec $X_{n+1}$ indépendante de $S_n$ (par le lemme des coalitions) et la formule de convolution.

La méthode

1
Je pose $\mathcal{P}(n)$ : $f_{S_n}(t) = \frac{\lambda^n}{(n-1)!}\,t^{n-1}\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}$ , et je vérifie l'initialisation $n = 1$ : $S_1 = X_1 \sim \mathcal{E}(\lambda)$ , soit $f_{S_1}(t) = \lambda\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}$ , conforme à la formule.
2
Je suppose $\mathcal{P}(n)$ vraie. Par le lemme des coalitions, $S_n = X_1 + \dots + X_n$ est indépendante de $X_{n+1}$ , donc $S_{n+1} = S_n + X_{n+1}$ admet une densité par convolution.
Comment appliquer le lemme des coalitions pour obtenir une indépendance entre fonctions de variables ?Voir
3
Je calcule $f_{S_{n+1}}(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{S_n}(u)\,f_{X_{n+1}}(t - u)\,\mathrm{d}u$ en restreignant le domaine à $\{0 < u < t\}$ (non vide pour $t > 0$ ).
4
J'obtiens $f_{S_{n+1}}(t) = \int_0^t \frac{\lambda^n u^{n-1} e^{-\lambda u}}{(n-1)!}\,\cdot\,\lambda e^{-\lambda(t-u)}\,\mathrm{d}u = \frac{\lambda^{n+1} e^{-\lambda t}}{(n-1)!} \int_0^t u^{n-1}\,\mathrm{d}u = \frac{\lambda^{n+1}}{n!}\,t^n\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}$ , soit $\mathcal{P}(n+1)$ ; je conclus par récurrence.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X_1, X_2$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Retrouver par convolution la densité de $S_2 = X_1 + X_2$ .

Étape 1 —

Je pose

\mathcal{P}(n)

f_{S_n}(t) = \frac{\lambda^n}{(n-1)!}\,t^{n-1}\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}

, et je vérifie l'initialisation

n = 1

S_1 = X_1 \sim \mathcal{E}(\lambda)

, soit

f_{S_1}(t) = \lambda\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}

, conforme à la formule.

Pour $n = 1$ , $S_1 = X_1$ a pour densité $\lambda e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t > 0}$ : la formule est vérifiée.

Étape 2 —

Je suppose

\mathcal{P}(n)

vraie. Par le lemme des coalitions,

S_n = X_1 + \dots + X_n

est indépendante de

X_{n+1}

, donc

S_{n+1} = S_n + X_{n+1}

admet une densité par convolution.

$X_1$ et $X_2$ sont indépendantes (hypothèse), donc $S_2 = X_1 + X_2$ admet une densité par convolution.

Étape 3 —

Je calcule

f_{S_{n+1}}(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{S_n}(u)\,f_{X_{n+1}}(t - u)\,\mathrm{d}u

en restreignant le domaine à

\{0 < u < t\}

(non vide pour

t > 0

$f_{S_2}(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \lambda e^{-\lambda u}\mathbf{1}_{u>0}\,\cdot\,\lambda e^{-\lambda(t-u)}\mathbf{1}_{t-u>0}\,\mathrm{d}u$ ; domaine $0 < u < t$ (non vide pour $t > 0$ ).

Étape 4 —

J'obtiens

f_{S_{n+1}}(t) = \int_0^t \frac{\lambda^n u^{n-1} e^{-\lambda u}}{(n-1)!}\,\cdot\,\lambda e^{-\lambda(t-u)}\,\mathrm{d}u = \frac{\lambda^{n+1} e^{-\lambda t}}{(n-1)!} \int_0^t u^{n-1}\,\mathrm{d}u = \frac{\lambda^{n+1}}{n!}\,t^n\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}

, soit

\mathcal{P}(n+1)

; je conclus par récurrence.

Calcul : $f_{S_2}(t) = \lambda^2 e^{-\lambda t}\int_0^t \mathrm{d}u = \lambda^2\,t\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}$ , conforme à la formule avec $n = 2$ .

$f_{S_2}(t) = \lambda^2\,t\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}$ .

Application guidée

Soit $X_1, X_2, X_3$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(1)$ . Calculer la densité de $S_3 = X_1 + X_2 + X_3$ en effectuant le pas de récurrence à partir de $S_2$ .

Application autonome 1

Écrire proprement le pas de récurrence démontrant que $\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$ pour $X_i \sim \mathcal{E}(\lambda)$ i.i.d.

Application autonome 2

Soient $X_1, X_2, X_3$ i.i.d. de loi $\mathcal{U}([0, 1])$ . Calculer la densité de $S_2 = X_1 + X_2$ puis celle de $S_3 = X_1 + X_2 + X_3$ .

Application autonome 3

Soient $X_1, X_2, X_3$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(2)$ . En appliquant la formule de récurrence, déterminer la densité de $S_3 = X_1 + X_2 + X_3$ et calculer $P(S_3 > 1)$ .

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En démontrant par récurrence sur nnn via le produit de convolution

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En démontrant par récurrence sur $n$ via le produit de convolution