Comment appliquer l'inégalité de Markov pour majorer $P(|X| \geq a)$ ?

En vérifiant que $E(|X|)$ existe puis en écrivant $P(|X| \geq a) \leq E(|X|)/a$

L'objectif

Majorer $P(|X| \geq a)$ pour une variable aléatoire $X$ admettant une espérance et un réel $a > 0$ .

Le principe

Inégalité de Markov : si $X$ est une variable aléatoire telle que $E(|X|)$ existe, alors pour tout $a > 0$ , $P(|X| \geq a) \leq \dfrac{E(|X|)}{a}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $E(|X|)$ existe et je fixe le réel $a > 0$ auquel je veux appliquer l'inégalité.
2
J'applique l'inégalité de Markov à $|X|$ : $P(|X| \geq a) \leq \dfrac{E(|X|)}{a}$ .
3
Je calcule ou je majore explicitement $E(|X|)$ , puis je substitue dans la borne pour obtenir la majoration finale.

Difficulté croissante de 1 à 4

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En vérifiant que E(∣X∣)E(|X|)E(∣X∣) existe puis en écrivant P(∣X∣≥a)≤E(∣X∣)/aP(|X| \geq a) \leq E(|X|)/aP(∣X∣≥a)≤E(∣X∣)/a