Comment déterminer la loi d'un vecteur aléatoire $(X_1,\dots,X_n)$ à partir de sa fonction de répartition ? | MetMat

Comment déterminer la loi d'un vecteur aléatoire $(X_1,\dots,X_n)$ à partir de sa fonction de répartition ?

En calculant $F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=P(X_1\leq x_1,\dots,X_n\leq x_n)$

Caractériser la loi du vecteur $(X_1,\dots,X_n)$ en déterminant sa fonction de répartition conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ .

L'objectif

Caractériser la loi du vecteur $(X_1,\dots,X_n)$ en déterminant sa fonction de répartition conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ .

Le principe

La loi d'un vecteur aléatoire $(X_1,\dots,X_n)$ à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ est entièrement caractérisée par sa fonction de répartition conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n} [X_i\leq x_i]\right)$ , définie pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n$ .

La méthode

1
Je fixe un $n$ -uplet quelconque $(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n$ et je traduis l'événement $\bigcap_{i=1}^{n} [X_i\leq x_i]$ concrètement dans l'expérience.
2
Je calcule $P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n} [X_i\leq x_i]\right)$ en utilisant la structure du problème (indépendance des tirages, loi conditionnelle, décomposition sur un SCE, etc.).
3
Je distingue si nécessaire selon les valeurs de $(x_1,\dots,x_n)$ (zones où la FdR vaut $0$ , $1$ ou une expression intermédiaire).
4
J'exprime $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ sur $\mathbb{R}^n$ : cela caractérise entièrement la loi du vecteur.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes deux la loi uniforme $\mathcal{U}[0,1]$ . Déterminer la fonction de répartition conjointe du couple $(X,Y)$ .

Étape 1 —

Je fixe un

n

-uplet quelconque

(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n

et je traduis l'événement

\bigcap_{i=1}^{n} [X_i\leq x_i]

concrètement dans l'expérience.

Je fixe $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ et j'étudie $F_{(X,Y)}(x,y)=P(X\leq x, Y\leq y)$ .

Étape 2 —

Je calcule

P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n} [X_i\leq x_i]\right)

en utilisant la structure du problème (indépendance des tirages, loi conditionnelle, décomposition sur un SCE, etc.).

Par indépendance, $P(X\leq x, Y\leq y)=P(X\leq x)P(Y\leq y)=F_X(x)F_Y(y)$ .

Étape 3 —

Je distingue si nécessaire selon les valeurs de

(x_1,\dots,x_n)

(zones où la FdR vaut

0

1

ou une expression intermédiaire).

Je distingue selon les zones : pour $x<0$ ou $y<0$ , $F_{(X,Y)}(x,y)=0$ ; pour $x>1$ et $y>1$ , $F_{(X,Y)}(x,y)=1$ ; sinon $F_X(x)=\min(\max(x,0),1)$ et de même pour $Y$ .

Étape 4 —

J'exprime

F_{(X_1,\dots,X_n)}

sur

\mathbb{R}^n

: cela caractérise entièrement la loi du vecteur.

Pour $(x,y)\in [0,1]^2$ : $F_{(X,Y)}(x,y)=xy$ ; la formule générale $F_{(X,Y)}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$ caractérise la loi du couple.

$F_{(X,Y)}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$ avec $F_X(x)=\min(\max(x,0),1)$ et de même pour $Y$ ; la loi du couple est ainsi entièrement déterminée.

Application guidée

Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda>0$ , et $M=\max(X_1,\dots,X_n)$ . Déterminer la fonction de répartition de $M$ à partir du vecteur $(X_1,\dots,X_n)$ .

Application autonome 1

On effectue deux tirages successifs sans remise d'une boule dans une urne contenant les boules numérotées $1,2,3$ . Soient $X_1$ et $X_2$ les numéros obtenus. Déterminer la fonction de répartition conjointe du couple $(X_1,X_2)$ .

Application autonome 2

Soient $X, Y$ indépendantes, $X \sim \mathcal{E}(1)$ et $Y \sim \mathcal{E}(2)$ . Exprimer $F_{(X,Y)}(x, y)$ pour $x, y \geq 0$ .

Application autonome 3

Soient $X, Y$ indépendantes, $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ et $Y \sim \mathcal{U}([0,2])$ . Donner $F_{(X,Y)}(x,y)$ sur $[0,1] \times [0,2]$ .

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En calculant F(X1,…,Xn)(x1,…,xn)=P(X1≤x1,…,Xn≤xn)F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=P(X_1\leq x_1,\dots,X_n\leq x_n)F(X1​,…,Xn​)​(x1​,…,xn​)=P(X1​≤x1​,…,Xn​≤xn​)

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En calculant $F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=P(X_1\leq x_1,\dots,X_n\leq x_n)$