Comment déterminer les points critiques d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ ? | MetMat

Comment déterminer les points critiques d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ ?

En résolvant le système $\partial_1 f(x) = \cdots = \partial_n f(x) = 0$ sur l'ouvert de définition

Déterminer l'ensemble $\{x \in \mathbb{R}^n : \nabla f(x) = 0\}$ des points critiques d'une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer les points critiques de $f \colon (x,y) \mapsto x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3$ sur $\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Déterminer l'ensemble $\{x \in \mathbb{R}^n : \nabla f(x) = 0\}$ des points critiques d'une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ .

Le principe

Un point $x \in \mathbb{R}^n$ est un point critique de $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ si et seulement si $\nabla f(x) = 0_{\mathbb{R}^n}$ , c'est-à-dire si $\partial_i f(x) = 0$ pour tout $i \in \{1,\ldots,n\}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'ouvert $U$ où je cherche les points critiques (usuellement $U=\mathbb{R}^n$ ).
Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?Voir
2
Je calcule explicitement les $n$ dérivées partielles $\partial_1 f,\ldots,\partial_n f$ .
3
J'écris le système $\{\partial_i f(x) = 0\,,\, i=1,\ldots,n\}$ et je le résous (par substitution, élimination, factorisation).
4
Je liste toutes les solutions obtenues : ce sont les points critiques de $f$ sur $U$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer les points critiques de $f \colon (x,y) \mapsto x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^1

sur l'ouvert

U

où je cherche les points critiques (usuellement

U=\mathbb{R}^n

$f$ est polynomiale sur $\mathbb{R}^2$ , donc de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Je calcule explicitement les

n

dérivées partielles

\partial_1 f,\ldots,\partial_n f

$\partial_1 f(x,y) = 2x - 2$ et $\partial_2 f(x,y) = 2y + 4$ .

Étape 3 —

J'écris le système

\{\partial_i f(x) = 0\,,\, i=1,\ldots,n\}

et je le résous (par substitution, élimination, factorisation).

Le système $\{2x-2=0\,;\,2y+4=0\}$ équivaut à $\{x=1\,;\,y=-2\}$ .

Étape 4 —

Je liste toutes les solutions obtenues : ce sont les points critiques de

f

sur

U

L'unique point critique est $(1,-2)$ .

Unique point critique : $(1,-2)$ .

Application guidée

Déterminer les points critiques de $f \colon (x,y) \mapsto x^3 - 3x + y^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 1

Déterminer les points critiques de $f \colon (x,y) \mapsto xy(x+y-3)$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 2

Déterminer les points critiques de $f \colon (x,y) \mapsto \mathrm{e}^{-x^2-y^2}(x^2+y^2)$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 3

Déterminer les points critiques de $f \colon (x, y) \mapsto x^2 + y^2 - 4 x y$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En résolvant le système ∂1f(x)=⋯=∂nf(x)=0\partial_1 f(x) = \cdots = \partial_n f(x) = 0∂1​f(x)=⋯=∂n​f(x)=0 sur l'ouvert de définition

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant le système $\partial_1 f(x) = \cdots = \partial_n f(x) = 0$ sur l'ouvert de définition