Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire $\rho(X,Y)$ et l'interpréter dans le cas $|\rho|=1$ ? | MetMat

Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire $\rho(X,Y)$ et l'interpréter dans le cas $|\rho|=1$ ?

En calculant $\rho(X,Y)=\mathrm{Cov}(X,Y)/(\sigma(X)\sigma(Y))$ et en concluant à une relation affine si $|\rho|=1$

Calculer $\rho(X,Y)$ et, dans le cas $|\rho|=1$ , identifier une relation affine entre $X$ et $Y$ .

L'objectif

Calculer $\rho(X,Y)$ et, dans le cas $|\rho|=1$ , identifier une relation affine entre $X$ et $Y$ .

Le principe

Si $X$ et $Y$ admettent une variance non nulle, le coefficient de corrélation linéaire est défini par $\rho(X,Y)=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$ et vérifie $\rho(X,Y)\in[-1,1]$ (Cauchy-Schwarz). De plus, $|\rho(X,Y)|=1$ si et seulement si il existe $(a,b)\in\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}$ tels que $Y=aX+b$ presque sûrement.

La méthode

1
Je vérifie que $X$ et $Y$ admettent une variance finie et que $\sigma(X)>0$ et $\sigma(Y)>0$ (sinon $\rho$ n'est pas défini).
2
Je calcule $\mathrm{Cov}(X,Y)$ par la formule de Huygens $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ .
3
Je calcule $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ et $\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}$ , puis $\rho(X,Y)=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$ .
4
J'interprète : $\rho(X,Y)=0$ signale l'absence de corrélation linéaire, et $|\rho(X,Y)|=1$ équivaut à l'existence d'une relation $Y=aX+b$ presque sûre avec $a=\pm\sigma(Y)/\sigma(X)$ du signe de $\rho$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X,Y)$ avec $V(X)=4$ , $V(Y)=9$ et $\mathrm{Cov}(X,Y)=-3$ . Calculer $\rho(X,Y)$ et conclure.

Étape 1 —

Je vérifie que

X

Y

admettent une variance finie et que

\sigma(X)>0

\sigma(Y)>0

(sinon

\rho

n'est pas défini).

$V(X)=4>0$ et $V(Y)=9>0$ , donc $\sigma(X)=2$ et $\sigma(Y)=3$ sont bien non nuls : $\rho(X,Y)$ est défini.

Étape 2 —

Je calcule

\mathrm{Cov}(X,Y)

par la formule de Huygens

\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

$\mathrm{Cov}(X,Y)=-3$ est donné.

Étape 3 —

Je calcule

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}

, puis

\rho(X,Y)=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}

$\rho(X,Y)=\dfrac{-3}{2\times 3}=-\dfrac{1}{2}$ .

Étape 4 —

J'interprète :

\rho(X,Y)=0

signale l'absence de corrélation linéaire, et

|\rho(X,Y)|=1

équivaut à l'existence d'une relation

Y=aX+b

presque sûre avec

a=\pm\sigma(Y)/\sigma(X)

du signe de

\rho

$|\rho|=\tfrac{1}{2}<1$ : la corrélation est négative mais il n'existe pas de relation affine presque sûre entre $X$ et $Y$ .

$\rho(X,Y)=-\dfrac{1}{2}$ .

Application guidée

Soit $X$ une variable admettant une variance non nulle, et $Y=2X+5$ . Calculer $\rho(X,Y)$ .

Application autonome 1

Soit $(X,Y)$ discret avec $P(X=0,Y=1)=P(X=1,Y=0)=P(X=2,Y=-1)=\dfrac{1}{3}$ . Calculer $\rho(X,Y)$ .

Application autonome 2

Soient $X,Y$ deux variables indépendantes de variance non nulle. Calculer $\rho(X,Y)$ et interpréter.

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{E}(1)$ et $Y = -3 X + 2$ . Calculer $\rho(X, Y)$ .

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En calculant ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/(σ(X)σ(Y))\rho(X,Y)=\mathrm{Cov}(X,Y)/(\sigma(X)\sigma(Y))ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/(σ(X)σ(Y)) et en concluant à une relation affine si ∣ρ∣=1|\rho|=1∣ρ∣=1

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $\rho(X,Y)=\mathrm{Cov}(X,Y)/(\sigma(X)\sigma(Y))$ et en concluant à une relation affine si $|\rho|=1$