Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire $\rho(X,Y)$ et l'interpréter dans le cas $|\rho|=1$ ?

En calculant $\rho(X,Y)=\mathrm{Cov}(X,Y)/(\sigma(X)\sigma(Y))$ et en concluant à une relation affine si $|\rho|=1$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X,Y)$ avec $V(X)=4$ , $V(Y)=9$ et $\mathrm{Cov}(X,Y)=-3$ . Calculer $\rho(X,Y)$ et conclure.

La méthode

1
Je vérifie que $X$ et $Y$ admettent une variance finie et que $\sigma(X)>0$ et $\sigma(Y)>0$ (sinon $\rho$ n'est pas défini).
2
Je calcule $\mathrm{Cov}(X,Y)$ par la formule de Huygens $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ .
3
Je calcule $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ et $\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}$ , puis $\rho(X,Y)=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$ .
4
J'interprète : $\rho(X,Y)=0$ signale l'absence de corrélation linéaire, et $|\rho(X,Y)|=1$ équivaut à l'existence d'une relation $Y=aX+b$ presque sûre avec $a=\pm\sigma(Y)/\sigma(X)$ du signe de $\rho$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $(X,Y)$ avec $V(X)=4$ , $V(Y)=9$ et $\mathrm{Cov}(X,Y)=-3$ . Calculer $\rho(X,Y)$ et conclure.

1

$V(X)=4>0$ et $V(Y)=9>0$ , donc $\sigma(X)=2$ et $\sigma(Y)=3$ sont bien non nuls : $\rho(X,Y)$ est défini.

2

$\mathrm{Cov}(X,Y)=-3$ est donné.

3

$\rho(X,Y)=\dfrac{-3}{2\times 3}=-\dfrac{1}{2}$ .

4

$|\rho|=\tfrac{1}{2}<1$ : la corrélation est négative mais il n'existe pas de relation affine presque sûre entre $X$ et $Y$ .

$\rho(X,Y)=-\dfrac{1}{2}$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire $\rho(X,Y)$ et l'interpréter dans le cas $|\rho|=1$ ?

En calculant $\rho(X,Y)=\mathrm{Cov}(X,Y)/(\sigma(X)\sigma(Y))$ et en concluant à une relation affine si $|\rho|=1$