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Comment exploiter la somme pour la convergence en probabilité ?

En appliquant Xn→PXX_n \xrightarrow{P} X, Yn→PY⇒Xn+Yn→PX+YY_n \xrightarrow{P} Y \Rightarrow X_n + Y_n \xrightarrow{P} X + Y

L'objectif

Conclure à la convergence en probabilité de la somme de deux suites à partir des convergences individuelles.

Le principe

Si Xn→PXX_n \xrightarrow{P} X et Yn→PYY_n \xrightarrow{P} Y, alors Xn+Yn→PX+YX_n + Y_n \xrightarrow{P} X + Y ; la preuve utilise l'inclusion {∣Xn+Yn−X−Y∣≥ε}⊂{∣Xn−X∣≥ε/2}∪{∣Yn−Y∣≥ε/2}\{|X_n + Y_n - X - Y| \geq \varepsilon\} \subset \{|X_n - X| \geq \varepsilon/2\} \cup \{|Y_n - Y| \geq \varepsilon/2\} et la croissance de PP.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie les deux convergences : Xn→PXX_n \xrightarrow{P} X et Yn→PYY_n \xrightarrow{P} Y (souvent via LFGN, Bienaymé-Tchebychev ou théorèmes antérieurs).
    Voir
  2. 2
    Je fixe ε>0\varepsilon > 0 et j'invoque l'inclusion {∣Xn+Yn−(X+Y)∣≥ε}⊂{∣Xn−X∣≥ε/2}∪{∣Yn−Y∣≥ε/2}\{|X_n + Y_n - (X+Y)| \geq \varepsilon\} \subset \{|X_n - X| \geq \varepsilon/2\} \cup \{|Y_n - Y| \geq \varepsilon/2\}, conséquence de l'inégalité triangulaire.
  3. 3
    Par croissance et sous-additivité de PP, P(∣Xn+Yn−(X+Y)∣≥ε)≤P(∣Xn−X∣≥ε/2)+P(∣Yn−Y∣≥ε/2)P(|X_n + Y_n - (X+Y)| \geq \varepsilon) \leq P(|X_n - X| \geq \varepsilon/2) + P(|Y_n - Y| \geq \varepsilon/2).
  4. 4
    Les deux majorants tendent vers 00 par hypothèse, donc Xn+Yn→PX+YX_n + Y_n \xrightarrow{P} X + Y.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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