Comment utiliser les formules… : En appliquant la formule Mat_ B' (f) =… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment utiliser les formules de changement de base pour obtenir la matrice d'un endomorphisme dans une nouvelle base ?

En appliquant la formule $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1}\, \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)\, P$

Obtenir $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ par conjugaison de $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ par $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ pour $\mathcal{B}' = (e_1, e_1 + e_2)$ .

L'objectif

Obtenir $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ par conjugaison de $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ par $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ .

Le principe

Soient $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases de $E$ , $P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ et $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ ; alors $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} A P$ : $A$ et $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ sont semblables.

La méthode

1
Je vérifie que $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ sont deux bases de $E$ , j'écris $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ et $P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ .
2
Je calcule $P^{-1}$ puis le produit $A P$ .
3
Je multiplie à gauche par $P^{-1}$ pour obtenir $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1}\, (A P)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie que

\mathcal{B}

\mathcal{B}'

sont deux bases de

E

, j'écris

A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)

P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}

$\mathcal{B}'$ est bien une base (déterminant $1$ ) ; $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je calcule

P^{-1}

puis le produit

A P

$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $A P = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je multiplie à gauche par

P^{-1}

pour obtenir

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1}\, (A P)

$P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

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Comment utiliser les formules de changement de base pour obtenir la matrice d'un endomorphisme dans une nouvelle base ?

En appliquant la formule MatB′(f)=P−1 MatB(f) P\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1}\, \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)\, PMatB′​(f)=P−1MatB​(f)P

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la formule $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1}\, \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)\, P$