Comment calculer la trace d'une matrice carrée et exploiter sa linéarité ? | MetMat

Comment calculer la trace d'une matrice carrée et exploiter sa linéarité ?

En additionnant les coefficients diagonaux de la matrice

Obtenir $\mathrm{Tr}(A)$ pour une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ à partir de ses coefficients.

L'objectif

Obtenir $\mathrm{Tr}(A)$ pour une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ à partir de ses coefficients.

Le principe

Par définition, pour $A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , $\mathrm{Tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{i,i}$ .

La méthode

1
Je vérifie que la matrice $A$ est carrée, puis je repère les coefficients diagonaux $a_{1,1}, a_{2,2}, \dots, a_{n,n}$ .
2
J'additionne ces coefficients diagonaux pour obtenir $\mathrm{Tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{i,i}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la trace de $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 7 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que la matrice

A

est carrée, puis je repère les coefficients diagonaux

a_{1,1}, a_{2,2}, \dots, a_{n,n}

La matrice est carrée d'ordre $2$ ; les coefficients diagonaux sont $a_{1,1} = 2$ et $a_{2,2} = 7$ .

Étape 2 —

J'additionne ces coefficients diagonaux pour obtenir

\mathrm{Tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{i,i}

J'additionne : $\mathrm{Tr}(A) = 2 + 7 = 9$ .

$\mathrm{Tr}(A) = 9$ .

Application guidée

Calculer la trace de $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & -1 & -2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Calculer la trace de $I_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

Application autonome 2

Calculer la trace de la matrice $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$ .

Application autonome 3

Calculer la trace de $A = \begin{pmatrix} 3 & 7 & -2 & 5 \\ 1 & 0 & 4 & 3 \\ -1 & 2 & 6 & 0 \\ 5 & 1 & -3 & 8 \end{pmatrix}$ .

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