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Comment appliquer la loi faible des grands nombres à une suite de variables i.i.d. ?

En vérifiant i.i.d., espérance mm et variance σ2\sigma^2 finies, puis X‾n→Pm\overline{X}_n \xrightarrow{P} m

L'objectif

Conclure que la moyenne empirique d'un échantillon i.i.d. converge en probabilité vers l'espérance commune.

Le principe

Loi faible des grands nombres : si (Xn)n∈N∗(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*} est une suite i.i.d. admettant une espérance mm et une variance σ2<+∞\sigma^2 < +\infty, alors X‾n=1n∑i=1nXi→Pm\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} m (la démonstration par Bienaymé-Tchebychev donne P(∣X‾n−m∣≥ε)≤σ2nε2→0P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \to 0).

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que les XiX_i sont bien indépendantes et de même loi (i.i.d.), et j'identifie m=E(X1)m = E(X_1) et σ2=V(X1)<+∞\sigma^2 = V(X_1) < +\infty.
  2. 2
    Je pose X‾n=1n∑i=1nXi\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i et j'applique la loi faible des grands nombres : X‾n→Pm\overline{X}_n \xrightarrow{P} m.
  3. 3
    Si l'exercice le demande, je contrôle la vitesse via P(∣X‾n−m∣≥ε)≤σ2nε2P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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