Comment exploiter l'inégalité de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev pour établir la convergence d'un estimateur ?

En appliquant l'inégalité de Markov à $(T_n - g(\theta))^2$ pour contrôler un estimateur biaisé

L'objectif

Établir la convergence en probabilité d'un estimateur biaisé en appliquant Markov à $(T_n - g(\theta))^2$ .

Le principe

Pour $Y = (T_n - g(\theta))^2 \geq 0$ d'espérance $V(T_n) + (E(T_n)-g(\theta))^2$ , Markov donne $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) = P(Y\geq \varepsilon^2)\leq (V(T_n) + (E(T_n)-g(\theta))^2)/\varepsilon^2$ .

La méthode

1
Je vérifie que $T_n$ admet une espérance et une variance, je calcule $E_\theta(T_n)$ et je pose le biais $b_n(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)$ .
2
Je pose $Y_n = (T_n - g(\theta))^2 \geq 0$ d'espérance $E(Y_n) = V_\theta(T_n) + b_n(\theta)^2$ (décomposition biais-variance).
3
J'applique Markov à $Y_n$ : $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) = P(Y_n \geq \varepsilon^2)\leq E(Y_n)/\varepsilon^2 = (V_\theta(T_n) + b_n(\theta)^2)/\varepsilon^2$ .
4
Je conclus : si $V_\theta(T_n)\to 0$ et $b_n(\theta)\to 0$ , alors $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) \to 0$ pour tout $\varepsilon > 0$ , donc $T_n\xrightarrow{P_\theta} g(\theta)$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En appliquant l'inégalité de Markov à (Tn−g(θ))2(T_n - g(\theta))^2(Tn​−g(θ))2 pour contrôler un estimateur biaisé

Exemple corrigé

En appliquant l'inégalité de Markov à $(T_n - g(\theta))^2$ pour contrôler un estimateur biaisé