Comment exploiter l'invariance de la trace par similitude pour résoudre un exercice ?

En montrant par contraposée que deux matrices n'ayant pas la même trace ne sont pas semblables

Établir la non-similitude de deux matrices par comparaison de leurs traces.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ ne sont pas semblables.

L'objectif

Établir la non-similitude de deux matrices par comparaison de leurs traces.

Le principe

La trace est un invariant de similitude : si $A \sim B$ alors $\mathrm{Tr}(A) = \mathrm{Tr}(B)$ ; par contraposée, si $\mathrm{Tr}(A) \neq \mathrm{Tr}(B)$ , alors $A$ et $B$ ne sont pas semblables.

La méthode

1
Je calcule $\mathrm{Tr}(A)$ et $\mathrm{Tr}(B)$ comme somme des coefficients diagonaux de chaque matrice.
2
Je compare les deux valeurs ; si elles diffèrent, j'invoque la contraposée de l'invariance : $A \sim B \Rightarrow \mathrm{Tr}(A) = \mathrm{Tr}(B)$ , donc $\mathrm{Tr}(A) \neq \mathrm{Tr}(B) \Rightarrow A \not\sim B$ .
3
Je conclus que $A$ et $B$ ne sont pas semblables.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ ne sont pas semblables.

Étape 1 —

Je calcule

\mathrm{Tr}(A)

et

\mathrm{Tr}(B)

comme somme des coefficients diagonaux de chaque matrice.

$\mathrm{Tr}(A) = 1 + 2 = 3$ et $\mathrm{Tr}(B) = 2 + 3 = 5$ .

Étape 2 —

Je compare les deux valeurs ; si elles diffèrent, j'invoque la contraposée de l'invariance :

A \sim B \Rightarrow \mathrm{Tr}(A) = \mathrm{Tr}(B)

, donc

\mathrm{Tr}(A) \neq \mathrm{Tr}(B) \Rightarrow A \not\sim B

.

$\mathrm{Tr}(A) = 3 \neq 5 = \mathrm{Tr}(B)$ ; par contraposée de l'invariance de la trace par similitude, $A \not\sim B$ .

Étape 3 —

Je conclus que

A

et

B

ne sont pas semblables.

Donc $A$ et $B$ ne sont pas semblables.

$A \not\sim B$ car $\mathrm{Tr}(A) \neq \mathrm{Tr}(B)$ .

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