Comment calculer la variance d'une somme $V(X_1+\cdots+X_n)$ avec ou sans indépendance ?

En appliquant $V(\sum X_k)=\sum V(X_k)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ , qui se simplifie si les $X_k$ sont deux à deux indépendantes

L'objectif

Calculer la variance d'une somme finie de variables aléatoires, avec ou sans indépendance.

Le principe

Si $X_1,\ldots,X_n$ admettent une variance, alors $V\!\left(\sum_{k=1}^n X_k\right)=\sum_{k=1}^n V(X_k)+2\sum_{1\leq i<j\leq n}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ , et si de plus les $X_k$ sont deux à deux indépendantes (ou seulement deux à deux non corrélées), alors $V\!\left(\sum_{k=1}^n X_k\right)=\sum_{k=1}^n V(X_k)$ .

La méthode

1
Je vérifie que chaque $X_k$ admet une variance finie, ce qui garantit l'existence de toutes les covariances $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ .
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir
2
J'applique la formule générale $V(\sum_k X_k)=\sum_k V(X_k)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ , issue de la bilinéarité de la covariance.
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir
3
Si les $X_k$ sont deux à deux indépendantes (ou non corrélées), les $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ pour $i\neq j$ sont nulles et il reste $V(\sum_k X_k)=\sum_k V(X_k)$ .
4
Sinon, je calcule explicitement chaque covariance $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ et je somme pour conclure.
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En appliquant V(∑Xk)=∑V(Xk)+2∑i<jCov(Xi,Xj)V(\sum X_k)=\sum V(X_k)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)V(∑Xk​)=∑V(Xk​)+2∑i<j​Cov(Xi​,Xj​), qui se simplifie si les XkX_kXk​ sont deux à deux indépendantes

Exemple corrigé

En appliquant $V(\sum X_k)=\sum V(X_k)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ , qui se simplifie si les $X_k$ sont deux à deux indépendantes