Comment calculer P(X ∈ I) pour… : En utilisant P(a ≤ X ≤ b) = F_X(b)… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer $\mathbb{P}(X \in I)$ pour une variable à densité et un intervalle $I$ donné ?

En utilisant $\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}t$

Calculer la probabilité $\mathbb{P}(X \in I)$ pour une variable à densité $X$ et un intervalle $I \subset \mathbb{R}$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \sim \mathcal{U}([0, 2])$ de densité $f_X(t) = \dfrac{1}{2}\mathbf{1}_{[0,2]}(t)$ . Calculer $\mathbb{P}(X \in [0{,}5\,;\,1{,}5])$ .

L'objectif

Calculer la probabilité $\mathbb{P}(X \in I)$ pour une variable à densité $X$ et un intervalle $I \subset \mathbb{R}$ .

Le principe

Pour une variable aléatoire à densité $X$ : $\mathbb{P}(a < X \leq b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}t$ , et comme $\mathbb{P}(X = c) = 0$ pour tout $c \in \mathbb{R}$ , on peut inclure ou exclure indifféremment les bornes.

La méthode

1
J'identifie l'intervalle $I$ (borné ou non) et je choisis la méthode la plus adaptée : formule de la fonction de répartition si elle est connue explicitement, sinon intégration de la densité.
2
Si $F_X$ est disponible, je pose $\mathbb{P}(X \in [a, b]) = F_X(b) - F_X(a)$ (les bornes ne modifient pas la probabilité car $X$ est à densité).
3
Sinon, je calcule $\int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}t$ en utilisant la relation de Chasles sur les morceaux où $f_X$ a une expression simple, et en justifiant la convergence si une borne est infinie.
4
Je simplifie le résultat et j'interprète la valeur obtenue (en s'assurant qu'elle est bien dans $[0, 1]$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{U}([0, 2])$ de densité $f_X(t) = \dfrac{1}{2}\mathbf{1}_{[0,2]}(t)$ . Calculer $\mathbb{P}(X \in [0{,}5\,;\,1{,}5])$ .

Étape 1 —

J'identifie l'intervalle

I

(borné ou non) et je choisis la méthode la plus adaptée : formule de la fonction de répartition si elle est connue explicitement, sinon intégration de la densité.

L'intervalle $I = [0{,}5\,;\,1{,}5]$ est borné et inclus dans $[0, 2]$ : j'utilise directement la formule d'intégration de la densité.

Étape 2 —

F_X

est disponible, je pose

\mathbb{P}(X \in [a, b]) = F_X(b) - F_X(a)

(les bornes ne modifient pas la probabilité car

X

est à densité).

La fonction de répartition vaut $F_X(x) = \dfrac{x}{2}$ sur $[0, 2]$ , donc $\mathbb{P}(X \in [0{,}5\,;\,1{,}5]) = F_X(1{,}5) - F_X(0{,}5)$ .

Étape 3 —

Sinon, je calcule

\int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}t

en utilisant la relation de Chasles sur les morceaux où

f_X

a une expression simple, et en justifiant la convergence si une borne est infinie.

Par intégration : $\int_{0{,}5}^{1{,}5} \dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{2}(1{,}5 - 0{,}5) = \dfrac{1}{2}$ .

Étape 4 —

Je simplifie le résultat et j'interprète la valeur obtenue (en s'assurant qu'elle est bien dans

[0, 1]

$\mathbb{P}(X \in [0{,}5\,;\,1{,}5]) = \dfrac{1}{2}$ : valeur cohérente avec la loi uniforme (proportionnelle à la longueur de l'intervalle).

$\mathbb{P}(X \in [0{,}5\,;\,1{,}5]) = \dfrac{1}{2}$ .

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Comment calculer P(X∈I)\mathbb{P}(X \in I)P(X∈I) pour une variable à densité et un intervalle III donné ?

En utilisant P(a≤X≤b)=FX(b)−FX(a)=∫abfX(t) dt\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}tP(a≤X≤b)=FX​(b)−FX​(a)=∫ab​fX​(t)dt

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer $\mathbb{P}(X \in I)$ pour une variable à densité et un intervalle $I$ donné ?

En utilisant $\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}t$